Encontrar todas las raíces primitivas no congruentes $\pmod{29}$

Question

Encontrar todas las raíces primitivas no congruentes $\pmod{29}$ .

He descubierto que $2$ es una raíz primitiva $\pmod{29}$ Entonces descubrí que son 12 raíces no congruentes, ya que $\varphi(\varphi(29)) = 12$ Entonces encontré esto:

$r_1=2^1=2\bmod (29)\\r_2=2^3=8\bmod (29)\\r_3=2^5=3\bmod (29)\\r_4=2^{11}=18\bmod (29)\\r_ 5=2^{13}=18\bmod (29)\\r_6=2^{17}=21\bmod (29)\\r_7=2^{19}=21\bmod (29)\\r_8=2^{23}=10\bmod (29)\\r_9=2^{27}=15\bmod (29)\\r_{10}=2^{29}=2\bmod (29)$

Es $10$ de estas raíces $12$ raíces. Tomó la potencia de los primos de $1-29$ (no los factores principales de $\varphi,\ 2$ y $7$ ), pero me falta $2$ raíces, y no entiendo cómo encontrarlas. He utilizado todas las potencias primarias.

Answer 1

Como mi respuesta aquí Orden de los elementos módulo p ,

Podemos decir $2^r$ es una raíz primitiva de $29$ si $$(r,\phi(29))=1$$

Ahora $$\phi(\phi(29))=\phi(7)\cdot\phi(4)=?$$

Answer 2

Debe utilizar todos los poderes de $2$ que son relativamente primera a $28$ .

Las dos raíces que te faltan son $2^9$ y $2^{15}.$

$9$ y $15$ no son primos (son múltiplos de $3$ ), pero no comparten ningún factor con $28$ .

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(También observo que tienes valores erróneos para $2^{13}$ y $2^{19}\bmod29$ ;

no son lo mismo que $2^{11}$ y $2^{17}$ respectivamente).

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Además, te falta $2^{25}$ ; usted tiene $2^{29}$ que es lo mismo que $2^{1}\bmod28$ En su lugar.