¿Cómo demostrar que un conjunto de números es un conjunto completo de unidades módulo p, donde p es primo?

Question

¿Cómo puedo demostrar que si p es primo, entonces el siguiente

${1, -1, 2, -2,..., \frac{p-1}{2}, -\frac{p-1}{2}}$

es un conjunto completo de unidades módulo p?

Answer 1

Si $x\ne y\in\{1,-1,2,-2,\dots,\dfrac{p-1}2,-\dfrac{p-1}2\}$, entonces $|x-y|\le|x|+|y|\le2\cdot\dfrac{p-1}2=p-1\implies x\not\equiv y\bmod p$.

Alternativamente, si $x\equiv y\bmod p$, entonces $x\equiv a\bmod p$ tiene dos soluciones en $\Bbb Z_p$, lo cual lleva a una contradicción.