Prueba de conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

Question

Teorema Un conjunto E es abierto si y sólo si el complemento $E^{c}$ está cerrado

Prueba

$E$ Abrir $\iff$ cualquier punto $x \in E$ es un punto interior

$\iff \forall x \in E, \exists$ un barrio $N$ de x s.t. $N$ es disjunta de $E^{c}$

$\iff \forall x\in E$ , $x$ no es un punto límite de $E^{c}$

$\iff E^{c}$ contiene todo su punto límite

Esta es mi pregunta para la última justificación. ¿Cómo se demuestra que $x$ no es un punto límite de $E^{c}$ implican que el $E^c$ contiene todo ¿los puntos límite?

Answer 1

Supongamos que $E^c$ tenía un punto límite $x$ que no estaba en $E^c$ Entonces $x$ pertenecería a $E$ y por lo tanto no sería de hecho un punto límite de $E^c$ .

En otras palabras, si nada en $E$ es un punto límite de $E^c$ entonces cualquier punto límite que $E^c$ puede tener no puede estar en $E$ y por lo tanto debe estar en $E^c$ . (Recuerde, todo lo que no está en $E$ está en $E^c$ y viceversa).

Answer 2

Si cada $x\in E$ no es un punto límite de $E^{c}$ , entonces no hay punto límite de $E^{c}$ se puede encontrar en $E$ de otro modo, habría algunos $x\in E$ que es un punto límite de $E^{c}$ pero ya hemos demostrado que esto es falso. Entonces, como ningún punto límite de $E^{c}$ se puede encontrar en $E$ se deduce que todo punto límite de $E^{c}$ está en $E^{c}$ . Así que, $E^{c}$ contiene todos sus puntos límite como se desea y $E^{c}$ está cerrado.

Answer 3

Todos los puntos límite de $E^\rm{c}$ están en $E^\rm{c}$ o en $E$ . Ha demostrado que los puntos en $E$ no pueden ser puntos límite por lo que sólo puede significar que $E^\rm{c}$ contiene todos sus puntos límite.

Answer 4

Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes (son mutuamente contrapositivo ):

Si $x\in E$ entonces $x$ no es un punto límite de $E^c$ . (Una reformulación de $\forall x\in E$ , $x$ no es un punto límite de $E^c$ .)

Si $x$ es un punto límite de $E^c$ entonces $x\notin E$ (es decir $x\in E^c$ ).

Así es como se da el último salto.