Álgebras uniformes exóticas

Question

El primer ejemplo no trivial de un álgebra uniforme que se me ocurre es el álgebra de disco $A(\mathbb{D})$ . De manera similar se pueden definir sus parientes $P(U)$ y $R(U)$ , donde $U$ es cualquier región del plano complejo y $P$ , $R$ representan los cierres, de los polinomios y de las funciones racionales en $U$ .

¿Y si vamos más allá del caso en que el espectro está contenido en el plano complejo? Rudin demostró que si $K$ está dispersa, entonces no hay subálgebras uniformes no triviales de $C(K)$ .

¿Hay alguna clásico o canónico ejemplos de álgebras uniformes con espectros no medibles o la teoría de las álgebras uniformes es sólo una hija del análisis complejo?

Perdone si esta pregunta parece demasiado vaga.

Adenda: Un álgebra uniforme es una subálgebra cerrada de un álgebra C* conmutativa $C(K)$ que contiene funciones constantes y separa puntos en $K$ .

Answer 1

He aquí algunas reflexiones dispersas: No estoy seguro de que respondan realmente a lo que pareces querer decir.

El análisis complejo sigue dando ejemplos con espacios ideales máximos desagradables, por ejemplo $H^\infty(\Omega)$ . Incluso cuando $\Omega$ es el disco unitario abierto, el espectro no es medible y no es nada sencillo de entender (debería haber alguna discusión en el libro de Gamelin).

$L^\infty$ tiene un espectro no metrizable, aunque su estructura no es en cierto modo tan misteriosa como la de $H^\infty$ .

Nótese que todo espacio de Banach $E$ se incrusta como un subespacio cerrado y complementado de un álgebra uniforme. En concreto, tomemos el mapa canónico de $E$ en $C(B)$ , donde $B$ es la bola unitaria cerrada de $E^*$ equipado con el débil $*$ -y sea A la subálgebra cerrada generada por la imagen de $E$ . (Este es un teorema de Milne; me enteré de él por un artículo de Gamelin y Kislyakov, del cual un versión preimpresa se puede encontrar en línea).