Reescribiendo $\dot{x}=-\bigg[\bigg(x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\bigg)\bigg(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\bigg)+\beta\bigg]2\bigg(x-\frac{1}{2}\bigg)$

Question

Me dan la siguiente ecuación

$$\dot{x}=-\bigg[\bigg(x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\bigg)\bigg(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\bigg)+\beta\bigg]2\bigg(x-\frac{1}{2}\bigg)$$

Que se puede reescribir como $$=-2\bigg(x-\frac{1}{2}\bigg)^3-2\bigg(\beta-\frac{1}{4}\bigg)\bigg(x-\frac{1}{2}\bigg)$$

No veo cómo. ¿Hay algún consejo o pista sobre cómo llegar a la expresión final? Cualquier ayuda es muy apreciada :-)

Answer 1

Sólo tiene que utilizar la identidad $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ con $a=x-\frac 1 2, b=\frac 1 2 $ .

Answer 2

Escriba $t=x-1/2$

Entonces lo tienes: $$-[(t+1/2)(t-1/2)+\beta]2t =-[t^2-1/4+\beta]2t = -2t^3-2t(\beta -1/4)$$

Answer 3

Tenemos $$\dot{x} = -\left[\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\color{blue}{+{1\over 2}}\right)\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\color{blue}{-{1\over 2}}\right)+\beta\right]2\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\right)$$ recuerda que $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ y se obtiene $$\dot{x}=-\left[\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\right)^2-\color{blue}{1\over 4}+\beta\right]2\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\right)$$ ahora puedes utilizar fácilmente la propiedad distributiva del producto y la propiedad asociativa de la suma para obtener $$\dot{x}=-\left[\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\right)^2-\left(\color{blue}{1\over 4}-\beta\right)\right]2\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\right) = -2\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\right)^3-2\left(-\color{blue}{1\over 4}+\beta\right)\left(\color{red}{x-{1\over 2}}\right)$$

Answer 4

Sugerencia:dejar que $y=x-\dfrac{1}{2}$ por lo tanto $$y'=-(y^2-\dfrac{1}{4}+\beta)2y$$ o $$\dfrac{y'}{(y^2-\dfrac{1}{4}+\beta)2y}=-1$$