¿Tiene la homología un coproducto?

Question

La topología algebraica estándar define el producto copa que define una estructura de anillo sobre la cohomología de un espacio topológico. Esta estructura de anillo surge porque la cohomología es un functor contravariante y el pullback del mapa diagonal induce el producto (usando la fórmula de Kunneth para una generalidad completa, creo.)

Siempre me ha desconcertado por qué nunca se presenta una estructura dual, quizás un "coproducto" análogo (pero menos convencional), para la homología. ¿Existe tal cosa? Si no, ¿por qué no, y si es así, es tal que la estructura del anillo de cohomología puede derivarse de ella?

Conozco los productos de intersección definidos mediante la dualidad de Poincare, pero estoy buscando un verdadero dual del producto de copa general, definido mediante álgebra homológica y válido para todos los espacios con un anillo de cohomología.

Answer 1

El teorema de Eilenberg-Zilber dice que para la homología singular existe una equivalencia natural de homotopía en cadena:

$$S_*(X)\otimes S_*(Y) \cong S_*(X\times Y)$$

El mapa en el revertir dirección es el mapa de Alexander-Whitney. Por lo tanto, obtenemos un mapa

$$S_*(X)\rightarrow S_*(X\times X) \rightarrow S_*(X)\otimes S_*(X)$$

que hace que $S_*(X)$ en una álgebra.

Mi fuente (Selick's Introducción a la teoría de la homotopía ) entonces estados que esto da $H_*(X)$ la estructura de una álgebra. Sin embargo, creo que la fórmula de Kunneth va por el camino equivocado. La fórmula de Kunneth dice que hay una secuencia exacta corta de grupos abelianos:

$$0\rightarrow H_*(C)\otimes H_*(D) \rightarrow H_*(C \otimes D) \rightarrow \operatorname{Tor}(H_*(C), H_*(D)) \rightarrow 0$$

(los astutos se quejarán de la falta de coeficientes. Añádelos si te molesta)

Esta se divide, pero no de forma natural, y cuando se divide puede no dividirse como módulos sobre el anillo de coeficientes. Para hacer $H_*(X)$ en una álgebra necesitamos ese mapa de división. Eso requiere $H_*(X)$ para ser plana (en cuyo caso, creo, es un isomorfismo).

Es una condición bastante fuerte. En particular, implica que la cohomología es dual a la homología.

Por supuesto, si uno trabaja sobre un campo entonces todo está bien, pero entonces la homología integral es así que mucho más interesante que la homología sobre un campo.

En la situación de la cohomología, sólo algunos de las direcciones se invierten, lo que significa que el mapa natural sigue siendo del producto tensorial de los grupos de cohomología a la cohomología del producto. Como el mapa diagonal ahora se invierte, esto es suficiente para definir la estructura de anillo en $H^*(X)$ .

Sin embargo, hay razones más profundas. La cohomología es una representable y su objeto representativo es un objeto de anillo (vale, objeto de anillo graduado) en la categoría de homotopía. Esta es la verdadera razón por la que $H^*(X)$ es un anillo (la fórmula de Kunneth no tiene nada que ver con la definición de esta estructura de anillo, por cierto). También significa que las operaciones de cohomología (también conocidas como transformaciones naturales) son, por el lema de Yoneda, mucho más accesibles que las correspondientes operaciones de homología (no conozco ningún estudio detallado al respecto).

Los anillos y las álgebras, al ser variedades de álgebras (en el sentido de álgebra universal o general), son en general mucho más fáciles de estudiar que las álgebras. Si esto se debe más bien a que tenemos una mayor historia y más experiencia, o si son intrínsecamente más sencillas, es algo que dejaré que otro responda. Ciertamente, creo que tengo una mejor idea de cómo es un anillo que una álgebra. Una cosa que facilita la vida es que a menudo las secuencias espectrales son secuencias espectrales de anillos, lo que las hace más sencillas de tratar: cuanta más estructura, menos espacio hay para que las cosas se salgan de control.

Añadido más tarde: Una cosa interesante de la estructura del álgebra -cuando existe- es que es genuinamente un álgebra. No se requieren compleciones divertidas del producto tensorial. La comulgación de un elemento de homología es siempre una finito suma.

Dos artículos particularmente buenos que vale la pena leer son los de Boardman, y Boardman, Johnson y Wilson en el Handbook of Algebraic Topology. Aunque se centran en las operaciones de las teorías de cohomología, su desarrollo es bastante detallado y contienen muchas propiedades generales de las teorías de homología y cohomología.

Añadido aún más tarde: Un lugar en el que la estructura de las álgebras se ha explotado con gran éxito es en la teoría de las cooperaciones cohomológicas. Para una teoría de cohomología razonable, las cooperaciones (que son grupos de homología de los espacios representativos) son anillos de Hopf, que son objetos de álgebra en la categoría de álgebras.

Answer 2

La homología no es naturalmente una álgebra a menos que se tomen coeficientes de campo o que el objeto tenga grupos de homología sin torsión sobre los enteros. La cuestión básica, como se ha mencionado anteriormente, es que aunque se tenga una secuencia de coeficientes universal exacta dividida para la homología de un producto, la división no es natural. En realidad, no es necesario que la homología sea dual a la cohomología porque eso implicaría algunas propiedades adicionales de finitud.

Sin embargo, si su espacio tiene homología libre de torsión con coeficientes enteros, entonces $H_*(X;R) = H_*(X) \otimes R$ para todos $R$ y así se obtiene una estructura de álgebra en la homología de $X$ con coeficientes en $R$ simplemente como el cambio de base del uno sobre los enteros. Si $R$ es un álgebra sobre un campo, entonces se obtiene una estructura de álgebra de coalición sin supuestos sobre $X$ por cambio de base de dicho campo.

Probablemente debería señalar que la fórmula de Kunneth es más complicada de lo que se ha dicho en una respuesta anterior. Hay una secuencia exacta

$0 \to H_*(C;\mathbb{Z}) \otimes H_*(D;M) \to H_*(C \otimes D;M) \to \operatorname{Tor}(H_*(C;\mathbb{Z}), H_*(D;M)) \to 0$

pero fíjate que un lado implica coeficientes enteros y el otro coeficientes en un módulo general. Si quieres el teorema del coeficiente universal con los mismos coeficientes en ambos lados, toma la forma de una secuencia espectral con $E_2$ -término

$\operatorname{Tor}^R_{p,q} (H_*(X;R), H_*(Y;R))$

convergiendo a $H_*(X \times Y;R)$ . (El bigrading en $\operatorname{Tor}$ viene porque estamos tomando $\operatorname{Tor}$ de los módulos graduados).

En general, si $E$ es una teoría de homología-cohomología generalizada, entonces la planitud de $E_* X$ sobre el anillo de tierra $E_*$ garantiza una estructura de álgebra en el $E$ -homología de $X$ . Esto también puede tener o no que ver con la dualidad, porque la planitud y la proyectividad no son lo mismo.

Como se ha mencionado, todavía tiene una estructura de álgebra en las cadenas de $X$ (o el " $E$ -homología objeto de $X$ " en la categoría de homotopía estable), y esto es en realidad una especie de fallo de los grupos de homología para imitar lo que ocurre entre bastidores.

Answer 3

Aquí hay una situación en la que realmente se utiliza esta estructura de álgebra (que, como han mencionado otras respuestas, existe sobre un campo en particular).

Si $X$ es una homotopía asociativa $H$ -espacio, entonces $H_{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ tiene la estructura de un álgebra con la multiplicación dada por el producto de Pontryagin inducido a partir de la multiplicación $X \times X \to X$ . Pero $H_{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ también tiene una estructura de álgebra inducida a partir del mapa diagonal $X \to X \times X$ y estas estructuras son compatibles, lo que hace que $H_{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ un álgebra de Hopf. Lo mismo ocurre con la cohomología, y estas álgebras de Hopf son duales en un sentido apropiado. Esta es la razón por la que Hopf inventó las álgebras de Hopf.

La estructura del álgebra de Hopf en $H_{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ es un invariante sorprendentemente fuerte de $X$ en particular, determina la homotopía racional de $X$ de la siguiente manera. Recordemos que si $X$ es un $H$ -espacio entonces $\pi_{\bullet}(X)$ tiene la estructura de un álgebra de Lie graduada con un soporte dado por el soporte de Samelson.

Teorema (¿Milnor-Moore?): Supongamos que $X$ es una homotopía asociativa conectada al camino $H$ -con homología racional finitamente generada en cada grado. Entonces el mapa de Hurewicz $\pi_{\bullet}(X) \otimes \mathbb{Q} \to H_{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ envía el corchete de Samelson al corchete del conmutador, es un isomorfismo sobre el álgebra de Lie graduada de elementos primitivos de $H_{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ e induce un isomorfismo de las álgebras de Hopf graduadas $H_{\bullet}(X, \mathbb{Q}) \cong U(\pi_{\bullet}(X) \otimes \mathbb{Q})$ .

Ejemplo. $H_{\bullet}(\Omega S^{n+1}, \mathbb{Q})$ se sabe que es isomorfo a $\mathbb{Q}[x]$ un álgebra polinómica sobre un generador $x$ de grado $n$ que puede identificarse con un generador de $H_n(S^n, \mathbb{Q})$ . La única estructura de álgebra posible es $\Delta x = x \otimes 1 + 1 \otimes x$ . Esto da

$$\Delta x^2 = (x \otimes 1 + 1 \otimes x)^2 = x^2 \otimes 1 + \left( 1 + (-1)^{n^2} \right) x \otimes x + 1 \otimes x^2$$

de lo que se concluye que si $n$ es incluso entonces $x$ es primitivo pero no $x^2$ pero si $n$ es impar entonces $x$ y $x^2$ son ambos primitivos. Estos son los únicos elementos primitivos posibles, y esto calcula los grupos racionales de homotopía de las esferas; obtenemos

$$\pi_{n-1}(\Omega S^n) \otimes \mathbb{Q} \cong \pi_n(S^n) \otimes \mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}$$

y

$$\pi_{4n-2}(\Omega S^{2n}) \otimes \mathbb{Q} \cong \pi_{4n-1}(S^{2n}) \otimes \mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}$$

y todo lo demás se desvanece racionalmente.

Answer 4

$\def\ZZ{\mathbb{Z}}\def\RR{\mathbb{R}}\def\PP{\mathbb{P}}$ Me di cuenta de que a estas excelentes respuestas les faltaba un ejemplo explícito de un espacio $X$ y una clase $\eta$ en $H_{\ast}(X, \ZZ)$ tal que la imagen de $\eta$ en $H_{\ast}(X \times X)$ (bajo el mapa diagonal) no está en la imagen de $H_{\ast}(X) \otimes H_{\ast}(X) \to H_{\ast}(X \times X)$ . Así que, para que conste, esto ocurre para la clase fundamental de $\mathbb{RP}^3$ .

Verificación Escribimos puntos de $\RR \PP^3$ en coordenadas homogéneas como $(w:x:y:z)$ . Para $t \in [0,1]$ , defina $$D_t := {\Big \{} ((w_1:x_1:y_1:z_1), (w_2:x_2:y_2:z_2)) \in \RR \PP^3 \times \RR \PP^3 : $$ $$w_2 x_1 = t w_1 x_2,\ x_2 y_1 = t x_1 y_2,\ y_2 z_1 = t y_1 z_2,$$ $$w_2 y_1 = t^2 w_1 y_2,\ x_2 z_1 = t^2 x_1 z_2,\ w_2 z_1 = t^3 z_1 w_2 {\Big \}}$$ y establecer $D = \bigcup_{t \in [0,1]} D_t$ .

$D_1$ es la diagonal y, para $t \in (0,1]$ tenemos $D_t \cong \RR \PP^3$ las ecuaciones que definen $D_t$ simplemente decir que $(w_2:x_2:y_2:z_2) = (t^3 w_1: t^2 x_1: t y_1: z_1)$ . El espacio $D_0$ es un poco más interesante: las ecuaciones son $w_2 x_1 = x_2 y_1 = y_2 z_1 = w_2 y_1 = z_2 x_1 = z_2 w_1=0$ y la consideración de los casos muestra que $$D_0 = (\RR \PP^3 \times \RR \PP^0) \cup (\RR \PP^2 \times \RR \PP^1) \cup (\RR \PP^1 \times \RR \PP^2) \cup (\RR \PP^0 \times \RR \PP^3).$$ Aquí $\RR \PP^2 \times \RR \PP^1$ , por ejemplo, son todos los puntos de la forma $(\ast: \ast: \ast : 0) \times (0 : 0 : \ast : \ast)$ .

$D$ es una variedad orientada con esquinas, cuya frontera es $D_1 - D_0$ . Así que $D_1$ es homólogo a $D_0$ .

Ponga la estructura estándar de CW en $\RR \PP^3$ , escribiendo $C_i$ para la celda de dimensión $i$ y escribir $C_{ij}$ para $C_i \times C_j$ . Es fácil calcular en esta estructura que $$H_3 = \ZZ \cdot [C_{30}] \oplus \ZZ \cdot [C_{03}] \oplus (\ZZ/2\ZZ) \cdot ([C_{21}]+[C_{12}]).$$ La imagen de $\bigoplus_{i+j =3 } H_i(\RR \PP^3) \otimes H_j(\RR \PP^3)$ son los dos primeros sumandos, y $[D_0] = [C_{30}] + [C_{21}] + [C_{12}] + [C_{03}]$ Así que $[D_0]$ no es a imagen y semejanza de $\bigoplus_{i+j =3 } H_i \otimes H_j$ . (Recordemos que $H_1(\RR \PP^3) = H_2(\RR \PP^3) = 0$ . )

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Voy a señalar dos cosas que me confundieron al principio. En primer lugar, ¿por qué no es $[D_0]$ la imagen de $\sum_{i+j=3} [\RR \PP^i] \otimes [\RR \PP^j]$ ? La respuesta es que $\RR\PP^2$ no es orientable, por lo que no define una clase en $H_2(\RR \PP^3)$ .

Una vez que nos damos cuenta de eso, ¿qué hace $[D_0]$ significa, ya que el $\RR \PP^1 \times \RR \PP^2$ y $\RR \PP^2 \times \RR \PP^1$ los componentes tampoco son orientables? La respuesta es que la orientación en el interior de $D$ (que es $(0,1) \times \RR \PP^3$ , por tanto orientable) da lugar a orientaciones en los interiores de las componentes de $D_0$ pero estas orientaciones son discontinuas en la codimensión $2$ estratos donde se encuentran estos componentes. Sin embargo, esto es suficiente para darnos un mapa de una célula cerrada orientada a cada componente, cuyos límites se anulan, por lo que podemos hablar de la $H_3$ clase de $[D_0]$ aunque no podamos hablar de las clases de sus componentes individuales.

Answer 5

Sí, la homología es una álgebra al menos con coeficientes sobre un campo, con el coproducto dado por el pushforward X -> X x X. Esto es dual a la estructura de anillo en la cohomología, por lo que se determinan mutuamente.