Producto de grupo y producto tensorial de irreps

Question

Si $D(g_1)$ y $D(g_2)$ son irreposiciones de $G_1$ y $G_2$ (respectivamente), es $D(g_1) \otimes D(g_2)$ una irreflexión de $G_1 \times G_2$ ? Si es así, ¿podría explicar por qué? ¿Sigue siendo así si $G_1=G_2$ ?

Answer 1

Sí, se puede obtener esto de la teoría del carácter. Si $\chi_1$ y $\chi_2$ son los caracteres de sus dos irreps dados, entonces $$\sum_{g_i\in G_i}|\chi_i(g_i)|^2=|G_i|$$ para $i\in\{1,2\}$ . El carácter del producto tensorial es $\chi(g_1,g_2)=\chi_1(g_1)\chi_2(g_2)$ . Por lo tanto, $$\sum_{(g_1,g_2)\in G_1\times G_2}|\chi(g_1,g_2)|^2 =\sum_{g_1\in G_1}\sum_{g_2\in G_2}|\chi(g_1)|^2|\chi(g_2)|^2=|G_1| |G_2|=|G_1\times G_2|$$ para que $\chi$ es un carácter irreducible.