Ejemplos requeridos para el operador

Question

Por favor, alguien puede darme ejemplos para los siguientes casos.

1) dejar $T $ sea un operador compacto acotado en $l^2$ y que $\sigma(T)$ sea el espectro del operador.

a) $\sigma(T)= [0,1]$

b) $\sigma(T)=\{0 \} \cup \{ z\in \Bbb C : |z|=1\} $

2) Si $T$ es un operador acotado no compacto en $l^2$ que tiene exactamente dos valores propios.

Solo necesito ejemplos (no es necesario explicar, basándome en el operador trataré de trabajar el espectro yo mismo).

Pude llegar a ejemplos en el caso de operadores normales compactos con espectro finito. Aquí estoy luchando como el primer caso hay espectro continuo y en el segundo es no compacto.

Gracias

Answer 1

1. Mirando el Teorema espectral para operadores compactos en un espacio de Hilbert obtenemos que el único punto de acumulación posible del espectro de un operador compacto en $\ell^2$ es $0$ y, por lo tanto, hay no hay operadores compactos donde el espectro contiene un intervalo (1a) o el círculo unitario (1b).

2. Considere cualquier partición ortogonal $V_1 \oplus V_2$ de $\ell^2$ y que $Tx = 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2$ donde $x=x_1 + x_2$ con $x_i \in V_i, I=1,2$ .