Dirección de la segunda derivada de una curva parametrizada por la longitud del arco

Question

Tengo una pregunta, es muy simple y estúpida. Si tengo una curva plana parametrizada por la longitud de arco, es fácil demostrar que la segunda derivada es ortogonal al primer vector derivado (vector tangente), por lo tanto si giro el vector tangente un ángulo de $\pi/2$ Tengo un nuevo vector (llámalo N), claramente N y la segunda derivada son paralelos, la pregunta es, ¿es cierto que el segundo vector derivado siempre se encuentra "dentro" de la curva?

Answer 1

De las dos posibilidades en 2D, el vector de la segunda derivada apunta en la dirección en que gira la curva. Básicamente, esto se debe a que 1) el vector de la segunda derivada (incluso con la parametrización de la longitud de arco) puede considerarse como un vector de aceleración, y 2) la dirección del vector de aceleración describe cómo está cambiando la dirección de la curva.

Para elaborar un poco:

1) Parametrizar una curva por la longitud de arco equivale a parametrizar la curva por el tiempo en que un objeto que viaja a velocidad unitaria constante traza la curva. Por lo tanto, el primer vector derivado ${\bf r}'(t)$ da la velocidad en el "tiempo" $t$ y el vector de la segunda derivada ${\bf r}''(t)$ da la aceleración a $t$ . (Y ${\bf r}''(t)$ es ortogonal a ${\bf r}'(t)$ porque esta última tiene una longitud constante).

2) La dirección del vector aceleración describe cómo cambia la dirección del vector velocidad. Como el vector velocidad apunta en la dirección de la curva, esto significa que la dirección del vector aceleración describe cómo cambia la dirección de la propia curva. Así que si la curva está girando en una dirección particular, la dirección del vector de aceleración tiene que seguir ese cambio. Por ejemplo, vea lo siguiente (tomado del Entrada de Wikipedia sobre la aceleración ).

El cambio de dirección de la curva en el intervalo de tiempo entre los puntos verdes y azules está indicado por la diferencia entre las flechas verdes y azules; es decir, el vector negro ${\bf \Delta v}$ . Dado que el vector de aceleración ${\bf a}$ es sólo una versión a escala de ${\bf \Delta v}$ , su dirección también indica cómo está cambiando la dirección de la curva y, por tanto, apunta hacia el lado hacia el que gira la curva. (Bueno, hay que dejar que $\Delta t$ ir a $0$ para conseguir ${\bf a}$ pero eso no cambia el comportamiento fundamental).

Answer 2

La segunda derivada apunta "hacia dentro" en las partes convexas de una curva cerrada, "hacia fuera" en las partes cóncavas.