Dejemos que $Df$ denotan la derivada de una función $f(x)$ y $\bigtriangledown f=f(x)-f(x-1)$ sea la derivada discreta. Utilizando la expansión en serie de Taylor para $f(x-1)$ , obtenemos fácilmente $\bigtriangledown = 1- e^{-D}$ o, tomando las inversas, $$ \frac{1}{\bigtriangledown} = \frac{1}{1-e^{-D}} = \frac{1}{D}\cdot \frac{D}{1-e^{-D}}= \frac{1}{D} + \frac12+ \sum_{k=1}^{\infty} B_{2k}\frac{D^{2k-1}}{(2k)!} ,$$ donde $B_{2k}$ son números de Bernoulli.
( Editar: He corregido los signos para que se ajusten a las convenciones más comunes).
Aquí, $(1/D)g$ es lo contrario a la derivada, es decir, la integral; sumando los límites se convierte en una integral definida $\int_0^n g(x)dx$ . Y $(1/\bigtriangledown)g$ es lo contrario a la derivada discreta, es decir, la suma $\sum_{x=1}^n g(x)$ . Así que la fórmula anterior, conocida como fórmula de Euler-Maclaurin, permite, en ocasiones, calcular la suma discreta utilizando la integral definida y algunos términos de error.
Normalmente, hay un resto no trivial en esta fórmula. Por ejemplo, para $g(x)=1/x$ el resto es la constante de Euler $\gamma\simeq 0.57$ . Estimar el resto y analizar la convergencia de la serie de potencias es una larga historia, que se explica, por ejemplo, en el bonito libro "Concrete Mathematics" de Graham-Knuth-Patashnik. Pero la serie de potencias se hace finita con resto cero si $g(x)$ es un polinomio. Bien, hasta ahora sólo estoy recordando la combinatoria elemental.
Ahora, mi pregunta. En la fórmula (Hirzebruch/Grothendieck)-Riemann-Roch uno de los principales ingredientes es la clase Todd que se define como el producto, pasando por las raíces de Chern $\alpha$ de la expresión $\frac{\alpha}{1-e^{-\alpha}}$ . Esto se parece tanto a lo anterior, y es tan sugerente (especialmente porque en la versión de Hirzebruch $$\chi(X,F) = h^0(F)-h^1(F)+\dots = \int_X ch(F) Td(T_X)$$ también hay una "integral", al menos en la notación) que me hace preguntarme: ¿hay alguna conexión?
El caso obvio para probar (lo que hice) es el caso cuando $X=\mathbb P^n$ y $F=\mathcal O(d)$ . Pero la prueba habitual en ese caso es un cálculo de residuos que, a mi entender, no se parece en nada a la fórmula de Euler-Maclaurin.
Pero, ¿existe realmente una conexión?
Una edición después de muchas respuestas: Aunque la conexión con el artículo de Khovanskii-Pukhlikov y el trabajo consiguiente, señalado por Dmitri y otros, es innegable, todavía no me resulta evidente cómo el Riemann-Roch habitual para $X=\mathbb P^n$ y $F=\mathcal O(d)$ se desprende de ellos. Parece que hay que demostrar la siguiente no trivial
La identidad: El coeficiente de $x^n$ sur $Td(x)^{n+1}e^{dx}$ es igual a $$\frac{1}{n!} Td(\partial /\partial h_0) \dots Td(\partial /\partial h_n) (d+h_0+\dots + h_n)^n |_{h_0=\dots h_n=0}$$
Una respuesta completa a mi pregunta incluiría una prueba de esta identidad o una referencia a dónde se muestra. (No lo he encontrado en los documentos citados.) He eliminado la aceptación para fomentar una explicación más completa.
