Dejemos que $(a_n)_{n\ge1}$ sea una secuencia positiva con límite $0$ tal que $|f(x+a_n)-f(x)|=a_n$ para cada número entero positivo $n$ y real $x$ . Encuentre $f$ .

Question

Dejemos que $(a_n)_{n\ge1}$ sea una secuencia de números positivos con límite $0$ y $f$ una función continua tal que $|f(x+a_n)-f(x)|=a_n$ para cada número entero positivo $n$ y real $x$ . Encuentre $f$ .

Ahora, está claro que tengo que probar $f(x)=x+c$ o $f(x)=-x+c$ pero no estoy seguro de cómo. Para la secuencia particular $a_n=1/n$ Intenté usar algunas desigualdades, y eso me llevó a $f(x+r)-r\le f(x)$ y $f(x+r)+r\ge f(x)$ para cada real $x,r$ pero no sé cómo demostrar que si $f(x)=x+c$ para algunos $x$ entonces $f(y)=y+c$ para cada real $y$ y algo así como $f(y)=-y+c$ no puede ocurrir en este caso y al revés en el segundo. Sé que este es un caso particular, pero si hubiera sido capaz de demostrarlo, creo que podría utilizar la prueba y tratar de demostrar que $ma_n$ son densos en los números reales positivos. Por favor, ayúdame. Te lo ruego, al menos dame alguna pista para ello, incluso para la secuencia particular $a_n=1/n$ .

Answer 1

Ya que sólo pides una pista : Para cada $n$ y $x$ hay una señal $\varepsilon_n(x)\in\lbrace \pm 1\rbrace$ tal que $f(x+a_n)-f(x)=\varepsilon_n(x)a_n$ . Ahora, $\varepsilon_n$ es una función continua de $x$ (¿por qué?), ¿puede terminar desde aquí?

Answer 2

Si se asume que $f$ es diferenciable (que no es necesariamente el caso ya que $f(x+a_n)-f(x)$ puede ser igual a $(-1)^n a_n$ )

Entonces, para todos los $x$ , usted tiene $|Df(x)|=|\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}|=|\lim_n\frac{f(x+a_n)-f(x)}{a_n}|=1$ .

Si se asume que $f$ es $C^1$ entonces $Df=1$ o $Df=-1$ en todas partes.

Dejemos que $g:x\mapsto x$ y $h :x\mapsto-x$ , ya que $\mathbb{R}$ está abierto y conectado y $D(f-g)=0$ en todas partes o $D(f-h)=0$ en todas partes, $f=g+C$ o $f=h+C$ .