¿Es una superficie de Riemann no compacta un subconjunto abierto de una compacta?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad holomorfa no compacta de dimensión $1$ . ¿Existe una superficie de Riemann compacta $\bar{X}$ suc que $X$ es biholomorfo a un subconjunto abierto de $\bar{X}$ ?

Editar: Para descartar el caso de que $X$ tiene un género infinito, quizás se podría añadir la hipótesis de que el espacio topológico $X^{\mathrm{end}}$ (¿es una superficie topológica?), obtenida mediante la adición del finaliza de $X$ tiene una generación finita $\pi_1$ (o $H_1$ ). ¿La nueva pregunta tendría sentido y/o sería de algún interés?

Edición 2: ¿Qué pasa si exigimos que $X$ tiene género finito? (el género de una superficie no compacta, como se sugiere en un comentario más abajo, puede definirse como el máximo $g$ para la cual una superficie compacta de Riemann $\Sigma_g$ menos un punto se incrusta en $X$ )

Answer 1

No. Tomemos una superficie de género infinito.

Answer 2

Probablemente debería consultar el siguiente artículo: Migliorini, Luca, "Sobre la compactificación de las superficies de Riemann". Aquí está la reseña de Mathscinet al respecto: "En este artículo el autor estudia algunas cuestiones relativas a las compactificaciones de las superficies de Riemann superficies de Riemann. Se demuestra que si $X$ es una superficie de Riemann abierta y conectada, entonces X tiene un género finito si y sólo si existe una inyección holomorfa $i: X \hookrightarrow \tilde{X}$ (con $\tilde{X}$ una superficie compacta de Riemann), $i(X)$ siendo denso en $\tilde{X}$ ..."

Answer 3

Referencias útiles para su pregunta son "Superficies platónicas" de Robert Brooks y "Extensión conforme de métricas de curvatura negativa" de Dan Mangoubi (ambos en arxiv).

He enviado un correo electrónico a Luca Migliorini solicitando su documento. Me dijo que era básicamente su tesis de licenciatura, publicada en una revista italiana ya desaparecida, y que no quedaba ninguna copia. En otras palabras, totalmente inútil.

El hecho básico sobre la compactación de una superficie de Riemann es el siguiente: si $S$ es una superficie de riemann de área finita, entonces existe una superficie de riemann compacta $S^c$ y un conjunto finito de puntos $p_1, \ldots, p_k$ en $S^c$ tal que $S^c \setminus {{p_1, \ldots, p_k}}$ es conformemente equivalente a $S$ .

En el documento de Brooks, afirma que esta superficie de Rimann $S^c$ es único. Sin embargo, admito que no estoy convencido de esta singularidad. La expresión que utiliza a lo largo de todo el artículo es "pinchazos que rellenan la forma", una frase que creo que merece más explicación de la que se da.

El lema 1.1 de Brooks es interesante y justifica la afirmación anterior. Por supuesto, sabemos cómo son las cúspides de las superficies de Riemann. Una vecindad cuspidal $C$ de una superficie de Riemann puede tomarse como isométrica al cociente de $\{ z\in \mathbb{H}^2: \Im(z)\geq 1/y \}$ por la isometría $z\mapsto z+1$ para algunos $y>0$ . El parámetro $y$ da una medida del tamaño de la cúspide, es decir, da un bucle geodésico homotópico a la puntura con longitud hiperbólica $y$ . Así que la cúspide $C$ es realmente isométrica a la bola perforada de radio euclidiano proporcional a $1/y$ a través del mapeo $z\mapsto e^{2\pi i z}$ en el disco de la unidad abierta perforada $D^\ast$ equipado con la métrica $ds^*=\frac{-1}{r \log r} |dz|$ . Sin embargo, $ds^*$ se dispara como $r\to 0$ como $1/r$ .

Brooks (y después Mangoubi más explícitamente) da, para cualquier $\epsilon>0$ , funciones de baches suaves $\delta$ concentrado en el origen en $D$ tal que $e^\delta ds^*$ se extiende a una métrica suave más allá del origen y cuya curvatura se mantiene apretada $-1 \pm \epsilon$ .

Voy a incluir los detalles de esta construcción, junto con algunas observaciones relativas a la compactación de curvas algebraicas de Donaldson (de su libro) en breve.