Las demás respuestas son excelentes, pero permítanme añadir algunas puntos.
En primer lugar, con una perspectiva histórica, todos los primeros teoremas fundamentales del cálculo se demostraron por primera vez mediante métodos que utilizaban infinitesimales, en lugar de métodos que utilizaban argumentos épsilon-delta, ya que esos métodos no aparecieron hasta el siglo XIX. El cálculo se desarrolló durante siglos sobre la base del infinitesimal, y los primeros argumentos -cualquiera que sea su nivel de rigor- están más cerca de sus análogos modernos en el análisis no estándar que a sus análogos modernos en los métodos épsilon-delta. En este sentido, uno podría responder razonablemente a su pregunta señalando cualquiera de estos primeros teoremas fundamentales.
Sin duda, los métodos épsilon-delta surgieron en parte porque los matemáticos no estaban seguros de la validez de los fundamentos de los infinitesimales. Pero como el análisis no estándar proporciona exactamente proporciona la legitimidad que falta, la motivación original para adoptar los argumentos épsilon-delta parece desaparecer.
En segundo lugar, si bien es cierto que casi cualquier aplicación de análisis no estándar en el análisis puede llevarse a cabo utilizando métodos estándar, lo contrario también es cierto. Es decir los argumentos épsilon-delta a menudo también pueden traducirse en análisis no estándar. Además, alguien planteado con análisis no estándar en su infancia matemática probablemente probablemente prefiera las cosas de esta manera. En este sentido, la preferencia entre los dos métodos puede ser una cuestión cultural de la educación.
Por ejemplo, H. Jerome Keisler escribió un libro de texto de introducción al cálculo libro de texto llamado Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal enfoque infinitesimal y este texto se utilizó durante muchos años como el principal libro de texto de cálculo en la Universidad de Wisconsin, Madison. I les animo a que echen un vistazo a este interesante texto que a primera vista parece un libro de texto de cálculo ordinario, excepto que en la cubierta interior, junto a las diversas fórmulas para las derivadas y las integrales, aparecen también enumeran las diversas reglas para manipular infinitesimales, que llenan el texto. Kiesler escribe:
Este es un libro de texto de cálculo en la universidad de primer año basado en los infinitesimales de Abraham Robinson, que data de 1960. El enfoque moderno de Robinson sobre los infinitesimales pone las ideas intuitivas de los fundadores del cálculo sobre una base matemática sólida, y es más fácil de entender para los principiantes que el enfoque más común a través de los límites. límites.
Por último, en tercer lugar, algunos pueden tomar su pregunta para presumir que un propósito central del análisis no estándar es proporcionar aplicaciones en el análisis. Pero esto no es correcto. El concepto concepto de modelos no estándar de la aritmética, del análisis y de la teoría de conjuntos surgió en la lógica matemática y ha crecido en todo un campo, con cientos de artículos y muchos libros libros, con sus propios problemas, preguntas y métodos, bastante divorciados de cualquier aplicación de los métodos en otras de las matemáticas. Por ejemplo, el tema de Modelos de Aritmética se centra en la comprensión de los modelos no estándar del Axiomas de Peano de primer orden, y no tiene mucho sentido analizar estos modelos utilizando únicamente métodos estándar.
Por mencionar sólo algunos fascinantes teoremas clásicos: todo modelo contable no estándar de aritmética es isomorfo a un segmento inicial propio de sí mismo (H. Friedman). Bajo la Hipótesis del Continuo, todo conjunto de Scott (una familia de conjuntos de números naturales cerrados bajo operaciones booleanas, reducibilidad de Turing reducibilidad de Turing y que satisface el lema de Konig) es la colección de conjuntos definibles de números naturales de algún modelo no estándar de aritmética (D. Scott y otros). No existe ningún modelo no estándar de aritmética para el que la suma o la multiplicación sean computables (S. Tennenbaum). Los modelos no estándar de la aritmética también fueron para demostrar varios resultados fascinantes de independencia sobre PA, como los resultados sobre Secuencias de Goodstein , así como el Teorema de París-Harrington en el independencia sobre PA de un teorema de Ramsey fuerte. Otro interesante resultado muestra que varias formas del principio del agujero de paloma no son no son equivalentes en las teorías de base débil; por ejemplo, el principio del agujero de paloma débil de que no hay una biyección de n a 2n no es demostrable sobre la teoría base del principio más débil de que no hay bijección de n con n 2 . Todas estas pruebas hacen un uso fundamental de métodos no estándar, que parecería difícil o imposible o imposible de omitir o trasladar a los métodos estándar.
