Prueba del límite de la cadena de Markov

Question

Primero, perdón por mi mal inglés. Tengo problemas para probar este ejercicio (salió de unos apuntes que tenía en la universidad, estoy estudiando para mi máster el año que viene).

Dejemos que $X$ sea una cadena de Markov irreducible aperiódica en un espacio de estados finito $S$ . Sea $\pi$ sea una medida estacionaria. Supongamos que $X$ comenzó en $\pi$ . Sea $a,b \in S$ . Demuestra que:

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_0=a, X_n=b) = \pi(a)\pi(b)$

He probado muchas cosas, incluyendo acoplamientos, pero no puedo resolverlo. Cualquier consejo y ayuda sería genial. Gracias.

Answer 1

¿No puedes escribir \begin{align} \mathbb P(X_0 = a, X_n = b) &= P(X_0 = a) P(X_n = b \vert X_0 = a) \\ &= \pi(a) P^n_a(b), \end{align} donde $P^n_a$ es el $n$ -del núcleo de la cadena de Markov iniciada en $a$ y usted asume que $X_0$ se extrae de $\pi$ . Por irreducibilidad y aperiodicidad, este núcleo converge a la medida estacionaria en el límite, por lo que sólo se obtiene $$ \lim_{n \rightarrow \infty} P^n_a(b) = \pi(b),$$ y el resultado es el siguiente. ¿Qué me falta?