Encuentra todas las funciones que satisfacen : $f\left(\frac{xf(y)}{2}\right)+f\left(\frac{yf(x)}{2}\right)=4xy$

Question

Encuentra todas las funciones que satisfacen : $$f\left(\frac{xf(y)}{2}\right)+f\left(\frac{yf(x)}{2}\right)=4xy$$ Sólo encuentro $f(0)=0$ pero no puedo probar $f(x)=2x$

Answer 1

Si su $f$ es diferenciable en $x=0$ . Entonces

Diferencie la ecuación para $x$ en $x=0$

$f'\left(\dfrac{xf(y)}{2}\right)\dfrac{f(y)}{2}+f'\left(\dfrac{f(x)y}{2}\right)\dfrac{y}{2}f'(x)=4y$ .

Tome $x=0$ . Desde $f(0)=0$ . Diga $A = f'(0)$ .

$A\dfrac{f(y)}{2}+A\dfrac{y}{2}A=4y$

Que es

$f(y)= \dfrac{8y-A^2y}{A}$

$f'(y) = \dfrac{8-A^2}{A}$ ,toma $y=0$ , $f'(0)=A=\dfrac{8-A^2}{A}$ .

$A=2$ o $A=-2$ .

Esto es para el caso liso. Si no es diferenciable en $x=0$ Entonces no tengo ni idea.