¿Cuáles son las propiedades de estas dos funciones?

Question

Vale, estaba haciendo garabatos en mi tiempo libre y se me ocurrieron estas dos funciones:

$$C_1(n) = \sum^{\infty}_{k = n} {{k \choose n}^{-1}}$$ $$C_2(n) = \sum^{n}_{k = 0} {{n \choose k}^{-1}}$$

No tengo Mathematica ni nada por el momento, así que no puedo analizar estas funciones como tal. ¿Alguien podría ayudarme con las propiedades de estas funciones (convergencia, etc.)?

Answer 1

La primera serie es divergente para $\,n\le 1\;$ y convergente para valores mayores a : $$C_1(n)=\sum^{\infty}_{k = n} \frac {n!}{\frac{k!}{(k-n)!}}=\sum^{\infty}_{j= 1}\frac{n!}{\frac{(j+n-1)!}{(j-1)!}}=\sum^{\infty}_{j= 1}\frac{n!}{(j)_n}=\frac {n!}{(n-1)(n-1)!}$$ donde $\;(j)_n=\dfrac {(j+n-1)!}{(n-1)!}$ es el Símbolo de Pochhammer "ascendente y donde utilizamos la ecuación $(19)$ del enlace en el límite $n\to\infty\;$ para obtener : $\;\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac 1{(k)_p}=\frac 1{(p-1)(p-1)!}$ .

El resultado es simplemente : $$\boxed{\displaystyle C_1(n)=\frac n{n-1},\quad\text{for }\ n>1}$$

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Una función generadora para $C_2$ es (de la OEIS A046825 ) : \begin{align} \sum_{n=0}^\infty C_2(n)\;z^n&=\left[\frac {2\,\ln(1 - z)}{z-2}\right]'=\frac 2{(z-1)(z-2)}-\frac{2\;\ln(1-z)}{(z-2)^2}\\ &=1+2\;z+\frac 52z^2+\frac 83z^3+\frac 83z^4+\frac {13}5z^5+\frac{151}{60}z^6+\cdots\\ \end{align}