$\int \frac{dx}{a\sin x + b \cos x} $ utilizando números complejos

Question

Quiero hacer la siguiente integral utilizando números complejos:

$$\int \frac{dx}{a\sin x + b \cos x} $$

En concreto, pienso utilizar la forma de Euler : $$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$

Entonces, $$(a\sin x + b\cos x)^{-1} = \Re((b-ia)e^{ix})^{-1})$$ El integrando se reduce entonces a una simple exponencial

$$\int \frac{(b+ai)e^{-ix} dx}{b^2 + a^2} = \frac{1}{-i}\frac{(b+ai)e^{-ix}}{b^2 + a^2} + C$$

Despreciando la constante y volviendo a la $a+ib$ forma, $$\frac{(-a+bi)(\cos x - i\sin x)}{a^2 + b^2}$$

cuya parte real, al simplificar, da como resultado $$\frac{-a\cos x +b\sin x}{a^2+b^2}$$

Todo esto está muy bien, excepto que está muy lejos de la respuesta real. ¿Qué me he perdido?

Como referencia, la respuesta real contiene un logaritmo de un tan de una expresión lineal en $x$ . Sé que es correcto ya que he llegado a esa respuesta utilizando otros métodos.

Answer 1

Haga la siguiente sustitución $z=e^{ix}$ y $a+i b=\rho e^{i\phi}$ Esta integral tiene la siguiente forma $$ I=\frac{2}{\rho e^{i\phi}}\int\frac{dz}{z^2-e^{-2i\phi}}=\frac{1}{\rho }\int dz(\frac{1}{z-e^{-i\phi}}-\frac{1}{z+e^{-i\phi}})=\frac{1}{\rho}\log\frac{z-e^{-i\phi}}{z+e^{-i\phi}} $$