Prueba de límite de cálculo multivariable

Question

Me encontré con esta afirmación y no puedo ni demostrar que es correcta ni encontrar un contraejemplo. El enunciado es:

Considere dos funciones $F(x,y)$ y $G(x,y)$ continua y diferenciable alrededor de un punto $(a,b)$ . Si el límite $$\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{F(x,y)}{G(x,y)}$$ es de la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ y $$\left[\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial G}{\partial y}-\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial G}{\partial x}\right]_{(a,b)}\neq0$$ Entonces el límite anterior no existe.

He probado varios ejemplos y parece que funciona. Cualquier sugerencia será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Puede considerar el mapa $(F,G):U\to{\mathbb R}^2$ definido en un nbhd abierto de $(a,b)$ . La condición sobre las derivadas parciales dice que el determinante jacobiano de $(F,G)$ no se desvanece en $(a,b)$ , por lo que es un difeo cerca de $(a,b)$ (y mapas $(a,b)$ a $(0,0)$ ). Así, podemos considerar el cambio de variables $u=F(x,y),\ v=G(x,y)$ y el límite se convierte en $$ \lim_{(u,v)\to(0,0)}\frac{u}{v}, $$ que claramente no existe. Sólo un fallo aquí, para aplicar el teorema de inversión local se necesita no sólo diferenciabilidad alrededor del punto, sino clase 1, o al menos determinante jacobiano no nulo en un nbhd del punto (no sólo en el punto, este refinamiento no es fácil). Por lo tanto, la hipótesis debe ser refinada en consecuencia.