Grupos fundamentales de superficies no compactas

Question

Recibí respuestas fantásticas a mi pregunta anterior (sobre las referencias modernas para el hecho de que las superficies pueden ser trianguladas), así que pensé en hacer una pregunta relacionada. Un hecho básico sobre la topología de superficies es que si $S$ es una superficie conexa no compacta, entonces $\pi_1(S)$ es un grupo libre (posiblemente trivial o $\mathbb{Z}$ ). Mucha gente me ha pedido referencias de este hecho. Conozco dos de esas referencias:

1) En la sección 44A del libro de Ahlfors sobre superficies de Riemann, da una prueba combinatoria muy complicada de este hecho.

2) Esto no es una referencia, sino una prueba de 2 líneas de gran potencia. Introduciendo una estructura conforme, el teorema de uniformización muestra que la cubierta universal de $S$ es contraíble. En otras palabras, $S$ es un $K(\pi,1)$ para $\pi=\pi_1(S)$ . A continuación, ya que $S$ es una zona no compacta $2$ -sus grupos de homología integral desaparecen en dimensiones mayores o iguales a $2$ . Concluimos que $\pi_1(S)$ es un grupo de dimensión cohomológica $1$ por lo que un teorema profundo de Stallings y Swan dice que $\pi_1(S)$ es gratis.

¡Debería haber una prueba de esto que se pueda presentar en un primer curso de topología! ¿Alguien conoce una referencia de una?

Answer 1

No tengo una referencia pero aquí hay una forma de probar lo que quieres. Es un resultado básico de la topología PL que cualquier deformación de un manifold abierto PL se retrae a un subcomplejo de dimensión inferior. Así que te reduces a demostrar que el grupo fundamental de un grafo es libre, así que colapsa un subárbol máximo a un punto, obtén una cuña de círculos y aplica Van Kampen.

Answer 2

En relación con la respuesta de Mohan, se puede dar una prueba exagerada utilizando el hecho de que las superficies de Riemann no compactas son Stein, y todo complejo $n$ -de Stein es equivalente en homotopía a un complejo CW n-dimensional. Este es el Teorema 7.2 en El libro de Milnor sobre la teoría de Morse.

Answer 3

Existe una nueva aproximación a las espinas mediante la teoría del transporte de masas y la dualidad de Kantorovich. Esto se desarrolla en mi tesis doctoral.

La idea es elemental: considerar el repliegue $x\mapsto x/|x|$ de la bola unitaria cerrada $B:=\{x \in \mathbb{R}^{N} | ~~ |x| \leq 1\}$ a su esfera límite $\partial B$ . El repliegue tiene locus de discontinuidad $Z=\{pt\}$ igual a un punto, es decir $x=0$ . Obsérvese que la inclusión $\{pt\} \hookrightarrow B$ es una homotopía-equivalencia. Afirmación: se trata de un principio general que se desprende de la dualidad de Kantorovich y de la teoría del transporte óptimo.

Por ejemplo, dejemos que $S$ sea una superficie hiperbólica cerrada con métrica $d$ y $C\hookrightarrow S$ un conjunto Cantor incrustado. Sea $X:=S-C$ sea la superficie perforada por Cantor, y sea $\sigma$ sea la medida de Hausdorff en $X$ . Del mismo modo, dejemos que $\tau$ sea la medida de Hausdorff de $C$ visto como un subconjunto de $(S,d)$ . Consideremos ahora la función $c: X \times C \to (0,\infty)$ definido por la norma $$c(x,y_0):= [\int_C d(x,y)^{-2} d\tau(y) ] - \frac{1}{2} d(x,y_0)^{-2}.$$ Vemos $c(x,y_0)$ como el coste de transportar una unidad de masa desde la fuente $x\in X$ al objetivo $y_0\in C$ . Si $\int_X \sigma > \int_C \tau$ entonces existen medidas de semiacoplamiento $\pi$ en $X\times C$ con la propiedad $$proj_X \# \pi \leq \sigma, ~\text{and}~~proj_C \# \pi = \tau. $$En otras palabras, $\pi$ es un plan de transferencia de la fuente abundante $\sigma$ al objetivo prescrito $tau$ . (Dichas medidas se denominan "semiacoplamientos"). Es un resultado estándar del transporte óptimo que existe un único $c$ -Acoplamiento óptimo $\pi_*$ que minimiza el coste total$$ c[\pi]:=\int_{X\times C} c(x,y) d\pi(x,y).$$

Ahora imaginemos que reescalamos la medida objetivo $\tau\mapsto \lambda \tau$ para el escalar $\lambda>0$ . Si $\lambda \int_C \tau$ está lo suficientemente cerca de $\int_X \sigma$ entonces el $c$ -Acoplamiento óptimo $\pi_*$ tendrá un "locus de discontinuidad" $Z \hookrightarrow X$ tal que $Z$ es un repliegue de deformación fuerte de $X$ y $Z$ será de codimensión uno (es decir, la "singularidad" es la columna vertebral).

Más concretamente, el $c$ -semiconductores óptimos $\pi_*$ se caracterizan por la existencia de un $c$ -potenciales cóncavos $\psi: C \to \mathbb{R}$ satisfaciendo $(\psi^c)^c=\psi$ . Esta es la teoría de la dualidad de Kantorovich. El $c$ -El transporte óptimo tiene la forma $x\mapsto \partial^c \psi^c (x)$ por cada $x\in X$ . Aquí $\partial^c \psi^c(x)$ es un subconjunto de $C$ , es decir, el $c$ -subdiferencial de $\psi^c$ en $x\in X$ . El "lugar de discontinuidad" se describe con más precisión como el conjunto de $x\in X$ donde $\# \partial^c \psi^c (x) \geq 2$ es decir, cuando el $c$ -convexo potencial $\psi^c$ no es únicamente diferenciable. El lugar de discontinuidad $Z$ , donde $\psi^c$ es finita y no diferenciable de forma única, es una subvariedad lipschitz cerrada de $X$ . Y la dualidad Kantorovich muestra $Z \hookrightarrow X$ es una deformación-retracción. La existencia de esta retracción probablemente no sea obvia, a menos que se tenga un buen conocimiento de la teoría del transporte de masas...

Pero todos los detalles están en mi tesis, incluyendo las aplicaciones a las espinas para los espacios de Teichmueller y los espacios simétricos de grupos aritméticos. Estaría encantado de compartir los detalles, ya que mi supervisor tiene absolutamente ningún interés en las aplicaciones topológicas, y es claramente indiferente a la topología algebraica.

Answer 4

Dejemos que $M$ sea una superficie conexa no compacta. Se puede suponer que $\partial M = \varnothing$ . Del lema 2.2 se deduce que papel

• Epstein, D. B. A. Curvas en 2 manifolds e isotopías . Acta Math. 115 1966 83-107.

que

1) $\pi_1 M$ es libre a nivel local es decir, todo subgrupo finitamente generado $G$ de $\pi_1 M$ es gratis;

2) $\pi_1 M$ es una unión de una secuencia contable creciente de subgrupos libres finitamente generados.

Sin embargo, hay grupos locales gratuitos que no lo son.

Recordemos que una subsuperficie conectada $N \subset M$ es incompresible si el homomorfismo $\pi_1 N \to \pi_1 M$ es inyectiva, por lo que se puede considerar $\pi_1 N$ como un subgrupo de $\pi_1 M$ .

Lemma 2.2 del artículo de Epstein. Dejemos que $X \subset M$ sea un subconjunto compacto y $G$ sea un subgrupo finitamente generado de $\pi_1 M$ . Entonces existe una subsuperficie compacta incompresible $N \subset M$ tal que

• $X \subset int(N)$

• $G \subset \pi_1 N \subset \pi_1 M$ .

La prueba es elemental y se basa en el teorema de la curva de Jordan y en las propiedades de los espacios de cobertura.

Prueba de que $\pi_1 M$ es localmente libre. De hecho, desde $N$ es compacto y tiene una frontera no vacía, $N$ se puede deformar en un gráfico finito, y por lo tanto $\pi_1 N$ es gratuito y contiene $G$ . Por lo tanto, por Teorema de Nielsen-Schreier , $G$ también es gratuito.

Prueba de que $\pi_1 M$ es una unión de una secuencia contable creciente de subgrupos libres finitamente generados. Representar a $M$ como una unión contable de subconjuntos compactos $X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ tal que $M = \cup_i X_i$ . Dejemos también $G_0 = 1$ sea el subgrupo unitario de $\pi_1 M$ y $N_0 \subset M$ sea una subsuperficie incompresible tal que

• $X_0 \subset int(N_0)$ y $G_0 \subset \pi_1 N_0 \subset \pi_1 M$ .

Denote $G_1 = \pi_1 N_0$ y que $N_1 \subset M$ sea una subsuperficie incompresible tal que

• $X_1 \subset int(N_1)$ y $G_1 \subset \pi_1 N_1 \subset \pi_1 M$ ,

repitiendo este proceso obtendremos que una secuencia creciente de subsuperficies compactas incompresibles $N_0 \subset N_1 \cdots$ tal que $M = \cup_i N_i$ .

Dado que cada bucle en $M$ está contenida en algún subconjunto compacto y, por tanto, en algún $N_i$ se deduce que $\pi_1 M$ es la unión de sus subgrupos libres finitamente generados $\pi_1 N_0 \subset \pi_1 N_1 \subset \cdots$