Grupos fundamentales de superficies no compactas

Question

Recibí respuestas fantásticas a mi pregunta anterior (sobre las referencias modernas para el hecho de que las superficies pueden ser trianguladas), así que pensé en hacer una pregunta relacionada. Un hecho básico sobre la topología de superficies es que si $S$ es una superficie conexa no compacta, entonces $\pi_1(S)$ es un grupo libre (posiblemente trivial o $\mathbb{Z}$ ). Mucha gente me ha pedido referencias de este hecho. Conozco dos de esas referencias:

1) En la sección 44A del libro de Ahlfors sobre superficies de Riemann, da una prueba combinatoria muy complicada de este hecho.

2) Esto no es una referencia, sino una prueba de 2 líneas de gran potencia. Introduciendo una estructura conforme, el teorema de uniformización muestra que la cubierta universal de $S$ es contraíble. En otras palabras, $S$ es un $K(\pi,1)$ para $\pi=\pi_1(S)$ . A continuación, ya que $S$ es una zona no compacta $2$ -sus grupos de homología integral desaparecen en dimensiones mayores o iguales a $2$ . Concluimos que $\pi_1(S)$ es un grupo de dimensión cohomológica $1$ por lo que un teorema profundo de Stallings y Swan dice que $\pi_1(S)$ es gratis.

¡Debería haber una prueba de esto que se pueda presentar en un primer curso de topología! ¿Alguien conoce una referencia de una?

Answer 1

Me resisto a hacer publicidad, pero ya que nadie ha contestado todavía, mencionaré la prueba en las páginas 142--144 de mi libro Topología clásica y Teoría de Grupos Combinatorios .

Answer 2

Si se asume la existencia de una estructura suave en una superficie no compacta entonces es fácil demostrar la existencia de una función morse propia sin máximo local. Esto demuestra que la superficie es homotópica a un complejo CW de una dimensión. Esta es la versión suave de la respuesta de Igor.

EDITADO POR ANDY PUTMAN: Mohan no está registrado y por lo tanto no puede comentar, pero me envió un correo electrónico con más detalles. El resultado es cierto en todas las dimensiones: cualquier n-manifiesto liso no compacto es homotópicamente equivalente a un complejo n-1. La clave es construir una función de agotamiento de Morse estrictamente subarmónica. La subarmonicidad impide que la función tenga máximos locales. Los detalles de esto se pueden encontrar en su artículo "Elementary Construction of Exhausting Subsolutions of Ellitpic Operators", publicado junto con Napier en L'Enseignement Math'ematique, t. 50 (2004), p. 1-24.

Answer 3

Acabo de encontrarme con esta pregunta, y pensé en dar una versión precisa de la prueba que Ilya sugirió. Creo que aprendí esta prueba en el curso de topología de Richie Miller, en la Universidad Estatal de Michigan, en 1977 más o menos.

Elija una triangulación de la superficie $S$ , dotado de la métrica simplicial. Elija un subárbol máximo de un extremo $T$ del doble esqueleto 1 $S^{(1)}$ . El subárbol $T$ contiene todos los duales $0$ -celda, es decir, el baricentro de cada 2-simplex. También, $T$ contiene células duales 1 que cruzan ciertas $1$ -simples. Sea $U$ sea la unión de las 2-simplicidades abiertas y las 1-simplicidades abiertas que contienen un punto de $T$ . La terminación métrica de $U$ , denotado como $\bar U$ es un disco cerrado al que se le ha quitado un punto de frontera, por lo que existe una retracción de la deformación de $\bar U$ en su límite $\partial \bar U$ . Adjuntando $\bar U$ a $S - U$ en la forma obvia de formar la superficie $S$ la retracción de la deformación $\bar U \to \partial\bar U$ induce una retracción de la deformación de $S$ en $S-U$ que es un subcomplejo del esqueleto 1.

Por cierto, el subárbol $T \subset S^{(1)}$ puede construirse mediante un proceso explícito. Enumerar el dual $0$ -células $v_1,v_2,\ldots \in S^{(1)}$ . Construir subárboles de un solo extremo $T_1,T_2,\ldots \subset S^{(1)}$ de la siguiente manera. $T_1$ es cualquier rayo adecuado basado en $v_1$ . Si $v_n \in T_{n-1}$ entonces $T_n = T_{n-1}$ . Si $v_n \not\in T_{n-1}$ , dejemos que $T_n$ sea la unión de $T_{n-1}$ con cualquier arco $\alpha \subset S^{(1)}$ teniendo un punto final en $v_n$ y la intersección de $T_{n-1}$ en su extremo opuesto. Cada $T_n$ es un árbol de un solo extremo por inducción, y como el radio $r$ barrio de $v_1$ en $T_n$ se estabiliza como $n \to \infty$ se deduce que $T = \cup_n T_n$ es un subárbol de un extremo de $S^{(1)}$ y es máxima porque contiene cada $v_i$ .

Creo que esta demostración se generaliza a cualquier dimensión, para dar el teorema al que se refiere Igor Belegradek.

--- Editado para simplificar y aclarar el argumento ---

Answer 4

No quiero quitarle mérito a las otras respuestas, pero creo que el resultado (la versión n-dimensional más general mencionada por @Igor Belegradek) se debe en realidad a J. H. C. Whitehead: La inmersión de un manificio abierto de tres dimensiones en un espacio euclidiano, Proc. London Math. Soc 11 1961, 81-90. , lema 2.1 (JHC fue un poco modesto llamando a esto un lema).

Answer 5

En caso de que alguien esté interesado, escribí un relato detallado que sintetiza las diversas respuestas aquí y corrige algunos problemas que me encontré. Se titula "Spines of manifolds and the freeness of fundamental groups of noncompact surfaces" y se puede descargar de mi página de notas aquí .