$U$ es una superficie en $3$ -espacio, mientras que $D\subset{\mathbb R}^2$ es el dominio de los parámetros de $U$ dans le $(s,t)$ -Avión. En este plano tenemos el "elemento de superficie" natural ${\rm d}(s,t)$ que sólo mide el área euclidiana ordinaria. En efecto, existe un factor de escala entre ${\rm d}(s,t)$ y el elemento de superficie correspondiente ${\rm d}S$ en $U$ . Este factor de escala aparece explícitamente en su fórmula, es $|{\bf r}_s\times{\bf r}_t|$ . En otras palabras: A un pequeño rectángulo en $D$ de la zona ${\rm d}(s,t)$ corresponde a un pequeño paralelogramo en $U$ de la zona $|{\bf r}_s\times{\bf r}_t|\>{\rm d}(s,t)$ .
El Jacobiano por otro lado, es el factor de escala local análogo si calculamos una integral de volumen sobre un dominio tridimensional $\Omega$ en el espacio "geométrico" de tres, parametrizando $\Omega$ utilizando un bonito dominio $D\subset{\mathbb R}^3$ en un espacio de parámetros auxiliar. En esta situación, tenemos una solución esencialmente biyectiva $$f:\quad D\to\Omega,\qquad(u,v,w)\mapsto \bigl(x_1(u,v,w), x_2(u,v,w), x_3(u,v,w)\bigr)\ ,$$ y luego hay que calcular el jacobiano $J_f(u,v,w)={\rm det}\bigl(df(u,v,w)\bigr)$ .
