¿Dibujo de las ocho geometrías de Thurston?

Question

¿Conoce alguna imagen, dibujo u otra representación visual concisa de las ocho geometrías tridimensionales de Thurston?

Me imagino algo parecido a la imagen estándar (de una esfera, un plano y una silla de montar) utilizada para ilustrar las tres geometrías de curvatura constante en dimensión dos. Por supuesto, se necesita más trabajo para ilustrar los tres manifolds representativos, y hay más opciones de ejemplos naturales, pero me sorprendió no encontrar una imagen así. Otra opción sería representar o indicar algunas de las geometrías de forma menos directa, por ejemplo a través de la estructura de los estabilizadores.

Answer 1

Aquí hay un bonito cíclico ordenación de las ocho geometrías:

$$\Bbb H^2\times \Bbb R,\quad \Bbb S^2\times \Bbb R,\quad \Bbb E^3,\quad \mathsf{Sol},\quad \mathsf{Nil},\quad \Bbb S^3,\quad \mathsf{PSL},\quad \Bbb H^3$$

derivado de mirar la tabla de geometrías fibrosas de Seifert de Peter Scott. La tabla está organizada por la característica de Euler del 2-orbifold base y la clase de Euler del haz. (Véase su BLMS artículo .) El ordenamiento cíclico también tiene un poco de simetría antipodal.

No se me han ocurrido imágenes geométricas de los ocho geométricos, pero he pensado en "iconos" para representarlos. (La intención original era encontrar ocho imágenes u objetos adecuados para un anillo de dentición). Éstas son mis sugerencias; me interesa saber qué piensan/sugieren los demás.

• $\Bbb H^2\times \Bbb R$ -- prisma triangular (donde el triángulo es delgado, es decir, ideal)
• $\Bbb S^2\times \Bbb R$ -- cilindro
• $\Bbb E^3$ -- cubo
• $\mathsf{Sol}$ -- tetraedro con un par de aristas opuestas truncadas
• $\mathsf{Nil}$ -- anillo con un segmento de una espiral (que representa una torsión de Dehn)
• $\Bbb S^3$ -- círculo
• $\mathsf{PSL}$ -- nudo de trébol
• $\Bbb H^3$ -- nudo en forma de ocho (o posiblemente un tetraedro delgado)

Creo que también es razonable pedir un tríptico "prototípico" para cada una de las ocho geometrías. He aquí un intento:

• $\Bbb H^2\times \Bbb R$ -- círculo cruzado de toros perforados
• $\Bbb S^2\times \Bbb R$ -- círculo cruzado de dos esferas
• $\Bbb E^3$ -- tres-toro
• $\mathsf{Sol}$ -- cilindro de mapeo de $[[2,1],[1,1]]$
• $\mathsf{Nil}$ -- cilindro de mapeo de $[[1,1],[0,1]]$
• $\Bbb S^3$ -- tres esferas
• $\mathsf{PSL}$ -- complemento del trébol
• $\Bbb H^3$ -- complemento de la figura del ocho

Obsérvese que todos los ejemplos son haces de superficies sobre círculos o haces de círculos sobre superficies, o ambos (es decir, productos).

EDIT: Además del hermoso trabajo de Zeno Rogue y Pierre Berger (enlazado en las otras respuestas) el lector puede estar interesado en el esfuerzos de visualización de Remi Coulon, Brian Day, Sabetta Matsumoto, Henry Segerman y Steve Trettel. Puede interactuar con siete de los ocho aquí . Por último, he aquí una instantánea de la geometría de Sol.

Answer 2

He dado un hablar describiendo algunas de las geometrías, lo que ha algunas figuras que representan las geometrías. Éstas se basan principalmente en las descripciones en El libro de Thurston que tiene unas bonitas fotos. El forma del espacio también tiene buenas fotos, pero no creo que describe las 8 geometrías. En cierto sentido, todas las geometrías menos la hiperbólica pueden ser representadas como haces unidimensionales sobre superficies, o haces de superficies sobre el círculo. La geometría hiperbólica puede ser puede considerarse como un vidrio con un índice de refracción variable, y la la geometría esférica también se puede considerar así (he calculado el factor de conformación una vez, pero no lo sé de memoria).

No conozco ninguna figura que reúna las imágenes de las geometrías en una sola.

Answer 3

Recientemente hemos empezado a trabajar en la visualización de Sol.

Sol se define por la siguiente métrica en $\mathbb{R}^3$ : $ds^2 = (e^zdx)^2 + (e^{-z}dy)^2 + dz^2$

Creo que es bastante fácil ver lo que está pasando allí: hay una coordenada Z y moverse a lo largo de esta coordenada Z hace que sus pasos Y sean más grandes (el doble de cada $\log(2)$ desplazado en el eje Z) mientras que hace que sus pasos X sean más pequeños (el doble de cada $-\log(2)$ movido). En un espacio hiperbólico ambos se expandirían juntos (así funciona el modelo de medio espacio si se sustituye la coordenada Z por su logaritmo).

SolvView por MagmaMcFry ofrece una visualización en perspectiva nativa tanto de Sol como de Nil. Por perspectiva nativa quiero decir que la vista que ves aquí es la que obtendrías si estuvieras dentro del espacio, asumiendo que la luz viaja en geodésicas.

Hemos añadido a Sol como geometría jugable en la actual beta de HyperRogue (visible tanto en la proyección nativa de la perspectiva como en la proyección del modelo simple anterior). Aquí es un vídeo de una cámara que gira en Solv, observando unas superficies de Z constante.

ACTUALIZACIÓN: hemos implementado todas las geometrías de Thurston. Véase el puesto de liberación y la página de geometría .

Answer 4

No sólo se pudieron ver las ocho geometrías en la exposición de ihp esthetopies el verano pasado, pero también se podían escuchar. La exposición ya ha terminado, pero las fotos están en el sitio de Pierre Berger, el autor de la exposición. Aquí es una imagen de SOL (copyright P. Berger)