¿Cuáles son algunos de los grandes problemas abiertos en la teoría de los 3-manifoldes?

Question

Por lo que tengo entendido, el teorema de geometrización y su demostración ayudaron a resolver muchas cuestiones pendientes sobre la geometría y la topología de los 3-manifolds, pero parece que todavía hay bastante actividad. No estoy preparado para hacer un esfuerzo completo para familiarizarme con la literatura en un futuro próximo, pero sigo teniendo curiosidad por saber en qué está trabajando la gente, qué técnicas se están desarrollando, etc.

Así que esperaba que la gente pudiera explicar brevemente algunas de las principales cuestiones abiertas y los programas que están motivando la investigación actual sobre los 3-manifolds. Dejaré que la comunidad decida si esta empresa es demasiado amplia, pero espero que sea posible dar una impresión aproximada de lo que está ocurriendo. Se agradecen las referencias a artículos de investigación, especialmente si son accesibles para los no expertos como yo.

Parece que la designación de wiki comunitaria es apropiada para esta cuestión, y deberían aplicarse las reglas habituales.

Answer 1

Supongo que soy un poco contraria, pero no considero que la conjetura de la fibración virtual sea realmente un gran problema en la teoría de los 3manifoldes. En una época anterior, en la que podría haber sido una aproximación a la demostración de la geometrización, seguro, pero hoy en día, con la geometrización como elemento fijo del paisaje, el problema es mucho menos importante. Sigue siendo bastante importante, pero ya no es vital, y yo lo situaría muy por debajo de estos problemas:

• Encontrar un formalismo algorítmico para el flujo de Ricci (con cirugía), es decir, encontrar un formalismo combinatorio para la curvatura en una variedad y el flujo resultante. Esto debería ser compatible con los medios para representar las superficies en el 3-manifold para que la cirugía pueda ser implementada, por ejemplo, un formalismo utilizando triangulaciones del manifold para que sea compatible con la teoría de la superficie normal. Es probable que se quiera una noción adecuada de Complejo Pachner para poner en marcha este formalismo.

• Construir conexiones más sólidas entre la perspectiva geométrica de los 3 manifolds y otras perspectivas de los 3 manifolds. Yo pondría aquí problemas como la comprensión de las propiedades del grafo gordiano de los nudos. O la conjetura del volumen. La teoría de los 4manifolds entra en escena aquí porque la cuestión de cómo se relaciona la geometrización con la cirugía es muy importante. Cuestiones como qué esferas de homología (racional) limitan las bolas de homología (racional), la incrustación de 3-manifolds en 4-manifolds, etc.

Answer 2

Si la teoría de los 3-manifolds se entiende de forma suficientemente amplia, entonces hay que mencionar la conjetura de Vassiliev y, en general, el problema de calcular la cohomología de los espacios de nudos en los 3-manifolds. Obsérvese que, para las variedades de dimensión 4 o superior, este problema está completamente resuelto. Para una introducción a todo esto, véase la charla de Vassiliev en el ICM 1994 ( MR1403923 ) y para más detalles véase su Complementos de discriminantes de mapas suaves ( MR1168473 ).

Answer 3

La conjetura de la geometización muestra que todo 3manifold se descompone en trozos geométricos. En cierto sentido, las piezas no hiperbólicas son "conocidas" desde hace muchas décadas, mientras que las piezas hiperbólicas no lo son. Por lo tanto, la investigación actual se centra principalmente en la "comprensión" de los 3-manifolds hiperbólicos. Por supuesto, la "comprensión" no es un problema matemático bien definido: sin embargo, creo que los investigadores de este campo están mayoritariamente de acuerdo en que aún estamos lejos de alcanzar este objetivo.

Por ejemplo, a diferencia de las variedades de Seifert, las variedades hiperbólicas no están clasificadas en un sentido estricto: cada variedad de Seifert tiene un "nombre" único estándar que dice muchas cosas sobre su geometría y topología, pero las variedades hiperbólicas no tienen esos nombres únicos. Los volúmenes de las variedades hiperbólicas todavía no se comprenden bien, e incluso una relación simple entre variedades, como una "cobertura topológica", está lejos de entenderse, como muestran todas las conjeturas enumeradas por Wilton más arriba.

Answer 4

Conjetura de Cannon: Todo grupo hiperbólico verbal finitamente generado con límite de Gromov $S^2$ tiene un subgrupo normal finito cuyo cociente es el grupo fundamental de un 3orbifold hiperbólico cerrado.

Answer 5

La conjetura del rango frente al género de Heegaard: Afirma que dado un 3manifold hiperbólico cerrado (compacto también funciona, creo) $M$ la conjetura afirma que el género de Heegaard de $M$ es igual al rango de $\pi_1(M)$ . Es relativamente fácil ver que el género de Heegaard es siempre mayor o igual que el rango con sólo mirar la definición de una división de Heegaard, pero la otra desigualdad no se conoce.

En el caso de los 3-manifolds no hiperbólicos, hay ejemplos en los que el género es estrictamente mayor que el rango (no tengo una referencia de esto en mi cabeza).