AÑADIDO (29 de mayo de 2013)
Como se ha señalado en los comentarios, se han producido grandes avances desde que se escribió esta respuesta por primera vez, y las conjeturas que se exponen a continuación se han demostrado ahora, gracias al trabajo pionero de Agol, Kahn--Markovic y Wise. He aquí un breve resumen de algunos de los aspectos más destacados. (Autopromoción descarada: véase este artículo de la encuesta para obtener más detalles, incluidas las definiciones de algunos de los términos).
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Haglund--Wise definen la noción de complejo cúbico especial (no positivamente curvado). Si un 3manifold hiperbólico cerrado $M$ es equivalente en homotopía a un complejo cúbico especial, entonces $M$ satisface L (largueza, definida a continuación).
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Agol demuestra que si $M$ es equivalente en homotopía a un complejo cúbico especial, entonces $M$ también satisface la conjetura VFC (Virtually Fibred Conjecture, también definida más adelante).
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Kahn--Markovic demuestran la SSC (la Conjetura del Subgrupo de Superficies, también definida a continuación), utilizando propiedades de mezcla del flujo geodésico. De hecho, construyen suficientes superficies para demostrar que $M$ es equivalente en homotopía a un complejo cúbico.
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Wise demuestra (independientemente de Kahn--Markovic) que si $M$ contiene un incrustado, geométricamente finito superficie entonces $M$ es especial.
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Agol utiliza un teorema muy profundo de Wise (el Teorema del Cociente Especial Malnormal) para demostrar una conjetura (también de Wise), que afirma que los grupos fundamentales hiperbólicos de complejos cúbicos no positivamente curvados son especiales. De ahí se derivan todas las propiedades que se indican a continuación.
Es toda una historia, y muchos otros nombres han quedado sin mencionar. También hubo contribuciones muy importantes de Sageev (cuya tesis inició el programa de utilizar complejos cúbicos para atacar estos problemas), Groves--Manning, Bergeron--Wise, Hsu--Wise y otro trabajo muy profundo de Haglund--Wise. Para extender estos resultados al caso hiperbólico cuspidado se necesitan los resultados de Hruska--Wise y Sageev--Wise. Por último, resulta que resultados similares son válidos para todas las curvatura no positiva 3manifolds, un resultado establecido por Liu y Przytycki--Wise.
Dejemos que $M$ sea un manípulo hiperbólico de volumen finito. (Algunas de ellas se extienden, convenientemente reformuladas, a clases más amplias de 3-manifolds. Pero de la Geometrización se deduce que el caso hiperbólico suele ser el más interesante. Todos ellos son trivial o trivialmente falso en el caso elíptico, por ejemplo).
La conjetura del subgrupo de superficie (SSC). $\pi_1M$ contiene un subgrupo isomorfo al grupo fundamental de una hiperbólica superficie. (Demostrado recientemente por Kahn y Markovic).
La conjetura de Virtual Haken (VHC). $M$ tiene un espacio de cobertura finito con una subsuperficie incompresible incrustada.
Primer número de Betti virtualmente positivo (VPFB). $M$ tiene un espacio de cobertura finito $\widehat{M}$ con $b_1(\widehat{M})\geq 1$ .
Primer número de Betti virtualmente infinito (VIFB). $M$ tiene espacios de cobertura finitos $\widehat{M}_k$ con $b_1(\widehat{M}_k)$ arbitrariamente grande.
La longitud (L). $\pi_1(M)$ tiene un subgrupo de índice finito que sujeta un grupo libre no abeliano.
La conjetura de las fibras virtuales (VFC). $M$ tiene una cubierta de lámina finita que es homeomorfa al toro de mapeo de un automorfismo de superficie (necesariamente pseudo-Anosov). Esto es falso para las variedades gráficas. Hay implicaciones bastante fáciles
$L\Rightarrow VIFB \Rightarrow VPFB \Rightarrow VHC \Rightarrow SSC$ .
También, a fortiori ,
$VFC\Rightarrow VPFB$ .
Recientemente, Daniel Wise anunció una prueba de que $VHC\Rightarrow VFC$ . Su prueba también muestra que, si $M$ tiene un geométricamente finito subsuperficie, entonces obtenemos $L$ y otras buenas propiedades.
Esta lista es similar a la que enlaza Agol en los comentarios. Además, supongo que es exactamente lo que Daniel Moskovich quería decir con "La conjetura de las fibras virtuales, y problemas relacionados". Pensé que a algunos les interesaría un poco más de detalle.
Paul Siegel pregunta en los comentarios: '¿Sería correcto suponer que los problemas de la "conjetura virtualmente _" pueden traducirse en una pregunta sobre la geometría a gran escala del grupo fundamental?'
Ciertamente, es cierto que la mayoría de ellas pueden traducirse en una afirmación sobre cómo (algún subgrupo de índice finito de) $\pi_1M$ se divide como un producto amalgamado, una extensión HNN o, más generalmente, como un gráfico de grupos. La equivalencia utiliza el Teorema de Seifert--van Kampen en una dirección, y algo como la Proposición 2.3.1 de Culler--Shalen en el otro. Reformuladas así, algunas de las conjeturas anteriores resultan ser las siguientes.
La conjetura de Virtual Haken (VHC). $M$ tiene un espacio de cobertura finito $\widehat{M}$ tal que $\pi_1(\widehat{M})$ se separa.
Primer número de Betti virtualmente positivo (VPFB). $M$ tiene un espacio de cobertura finito $\widehat{M}$ tal que $\pi_1(\widehat{M})$ se divide como una extensión de HNN.
La longitud (L). $M$ tiene un espacio de cobertura finito $\widehat{M}$ tal que $\pi_1(\widehat{M})$ se divide como un gráfico de grupos con gráfico subyacente de característica de Euler negativa.
La conjetura de las fibras virtuales (VFC). $M$ tiene un espacio de cobertura finito $\widehat{M}$ tal que $\pi_1(\widehat{M})$ se puede escribir como un producto semidirecto
$\pi_1(\widehat{M}) \cong K\rtimes\mathbb{Z}$
con $K$ generados finitamente. (Aquí invocamos Teorema de Stallings que un manificio de 3 dimensiones cuyo grupo fundamental tiene un subgrupo conmutador finitamente generado es fibrado).
Creo que no conozco una forma de reformular $VIFB$ en términos de divisiones de $\pi_1$ .
A menudo, cuando la gente dice "la geometría a gran escala de $\pi_1$ ' están hablando de propiedades que son invariantes bajo la cuasi-isometría. Realmente no estoy seguro de que estas propiedades de desdoblamiento (o, más exactamente, "que tengan virtualmente estas propiedades de desdoblamiento") sean invariantes bajo cuasi-isometría. Quizás algo como el trabajo de Mosher--Sageev--Whyte hace el truco?
