Estoy tratando de encontrar un contraejemplo para una afirmación general que creía verdadera hasta no hace mucho, pero que ahora sospecho que es falsa. Creo que un caso muy especial de la afirmación puede enunciarse como sigue.
Pregunta: Dejemos que $(t)$ sea el ideal generado por $t$ dans le $k$ -Álgebra $k[[t]]$ de series de potencias infinitas sobre $t$ . Entonces $(t)$ es también un módulo sobre el anillo de polinomios $k[t]$ . ¿Es todo homomorfismo de $(t)$ a sí mismo como un $k[t]$ -también un homomorfismo como $k[[t]]$ -¿Módulo?
Creo que es falso porque, como $k[[t]]$ -Álgebra, $(t)$ es libre en $t$ , mientras que como $k[t]$ -módulo no puede ser generado por un solo elemento. Sin embargo, exigir que los morfismos respeten la estructura multiplicativa es un requisito bastante fuerte...
Creo que un posible contraejemplo a la afirmación podría darse definiendo $\phi(t^n)=t^n$ para cualquier $n\ge0$ pero $\phi(S(t))=0$ para alguna serie de potencias infinitas (es decir, no un polinomio) $S(t)$ . Sin embargo, esto no es trivial de construir. Por ejemplo, no podemos establecer $\phi(S(t))=0$ para todo serie infinita $S(t)$ , si no $$0=\phi\left(\sum_{n\ge1}t^n\right)=\phi(t)+\phi\left(\sum_{n\ge2}t^n\right)=\phi(t)=t\ ,$$ que es una contradicción.
Preferiría un ejemplo constructivo de dicho mapa $\phi$ (o una prueba de que la afirmación anterior es cierta, por supuesto), pero un ejemplo de existencia también estaría bien.
