Cómo evaluar $\sum_{k=1} ^{n-1} \frac{\sin (k\theta)}{\sin \theta}$

Question

Cómo evaluar $$\sum_{k=1} ^{n-1} \frac{\sin (k\theta)}{\sin \theta}$$

¿Alguna ayuda? He intentado utilizar el método de la diferencia. Pero no lo consigo.

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilice el Fórmula de la prostaféresis ,

$$\cos((k-1)\theta)-\cos((k+1)\theta)=2\sin(k\theta)\sin(\theta)$$

y luego sumar la serie telescópica resultante.

Answer 2

Para un enfoque diferente:

$$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sin(k\theta)}{\sin(\theta)}=\frac1{\sin(\theta)}\sum_{k=0}^{n-1}\sin(k\theta)$$

$\Im$ significa la parte imaginaria.

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\sum_{k=0}^{n-1}(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta))$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\sum_{k=0}^{n-1}e^{k\theta i}$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\frac{1-e^{n\theta i}}{1-e^{\theta i}}$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\frac{1-\cos(n\theta)-i\sin(n\theta)}{1-\cos(\theta)-i\sin(\theta)}$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\frac{1-\cos(n\theta)-i\sin(n\theta)}{1-\cos(\theta)-i\sin(\theta)}\cdot\frac{1-\cos(\theta)+i\sin(\theta)}{1-\cos(\theta)+i\sin(\theta)}$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\frac{(1-\cos(n\theta)-i\sin(n\theta))(1-\cos(\theta)+i\sin(\theta))}{(1-\cos(\theta))^2+\sin^2(\theta)}$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\frac{(1-e^{n\theta i})(1-e^{-\theta i})}{(1-\cos(\theta))^2+\sin^2(\theta)}$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\frac{1-e^{n\theta i}-e^{-\theta i}+e^{(n-1)\theta i}}{2(1-\cos(\theta))}$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\Im\frac{1-\cos(n\theta)-i\sin(n\theta)-\cos(\theta)-i\sin(\theta)+\cos((n-1)\theta)+i\sin((n-1)\theta)}{2(1-\cos(\theta))}$$

$$=\frac1{\sin(\theta)}\frac{-\sin(n\theta)-\sin(\theta)+\sin((n-1)\theta)}{2(1-\cos(\theta))}$$

Quizá puedas simplificar esa última línea, pero es una solución bien conocida.