Hay una serie de grandes pasos no evidentes en esta deducción. Y ciertamente se equivocaron en la parte que usted pregunta.
Introduzcamos la notación $n=100$ , sin olvidar que $n$ es par. Que los números comiencen en el orden de las agujas del reloj $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . La suma de las condiciones del problema da $(a_1-1)^2+(a_2-1)^2+\ldots+(a_n-1)^2=n$ .
Este es un cálculo bastante fácil. Creo que habría sido prudente añadir que la indexación es modulo $n$ Así que $a_{n+1}$ es $a_1$ .
Supongamos que dos números adyacentes pueden ser simultáneamente al menos $2$ y al menos uno de ellos es estrictamente mayor que $2$ . Entonces todos los números siguientes del círculo son estrictamente mayores que $2$ lo que contradice la igualdad obtenida. El caso se considera de forma similar cuando dos números adyacentes no pueden ser simultáneamente más que $2$ y al menos uno de ellos es estrictamente menor que $2$ .
Así, los números "se alternan": no menos de dos y no más de dos.
Creo que esto podría haber quedado más claro. Tuve que leer esa última línea varias veces antes de poder analizar lo que decían. Pero es que si $a_k \le 2$ entonces $a_{k+1} \ge 2$ y si $a_k \ge 2$ entonces $a_{k+1} \le 2$ .
Supongamos que WLOG que $a_1+a_2 \geq 4$ . Entonces
$$ \begin{gathered} a_1+a_2 \geq 4, a_3+a_4 \geq 4, \ldots, a_{n-1}+a_n \geq 4,\\ 4 \geq a_2+a_3, 4 \geq a_4+a_5, \ldots, 4 \geq a_n+a_{1}. \end{gathered} $$
Este es un gran salto en mi opinión que debería tener más explicación. Si $a_1 + a_2 \ge 4$ entonces $a_3^2 \ge 4$ Así que $a_3 \ge 2$ . Esto requiere $a_4 \le 2$ y así $a_2 + a_3 = a_4^2 \le 4$ . Un argumento similar muestra entonces $a_3 + a_4 \ge 4$ etc.
Sumando todas las desigualdades, obtenemos la desigualdad $0\ge 0$ .
Supongo que están sumando $a_{2k} + a_{2k+1} - 4 \le 0$ y $a_{2k-1} + a_{2k} -4 \ge 0$ para conseguir $$0 \le \sum_i a_i - 2n \le 0$$ Pero vaya, es como si hubieran dejado de intentar explicar algo.
Así que $\sum_i a_i = 2n$ . Si incluso uno de los $a_{2k} + a_{2k+1} < 4$ entonces $\sum_{k=1}^{n/2} (a_{2k} + a_{2k+1}) < 4$ , una contradicción. Por lo tanto, cada $a_{2k} + a_{2k+1} = 4$ . Del mismo modo, cada $a_{2k-1} + a_{2k} = 4$ .
Por lo tanto,
$$a_1+a_2=a_3+a_4=\ldots=a_{n-1}+a_n =a_2+a_3=a_4+a_5=\ldots=a_n+a_1=4.$$
Así que todos los números son iguales a dos.
Una vez más, otro salto lógico. Hay varias maneras de deducir que todos los números son $2$ de esto, pero no es inmediatamente obvio y se necesita un poco de persecución para localizarlo.
Sugiero divergir de su argumento después de demostrar que los términos se alternan $\ge 2$ y $\le 2$ .
Tenga en cuenta que si cualquier $a_k = 2$ , entonces si $a_{k + 1} < 2$ o si $a_{k+1} > 2$ entonces tienes un acuerdo prohibido según su argumento. Así, $a_k =2 \implies a_{k+1} = 2$ que luego se propaga alrededor del círculo.
Así que sólo tenemos dos casos posibles: o bien para todos $k, a_k = 2$ o para todos $k, a_k \ne 2$ .
Todo $a_k = 2$ es fácilmente verificable como solución.
Así que ahora asuma que todos $a_k \ne 2$ . WLOG, $a_1 > 2$ . De ello se desprende que $a_k > 2$ cuando $k$ es impar y $a_k < 2$ cuando $k$ está en paz. Pero entonces $$a_{2k} + a_{2k+1} = a_{2k+2}^2 < 4$$ y $$a_{2k-1} + a_{2k} = a_{2k+1}^2 > 4.$$
Sumando la primera desigualdad sobre todas las $k \le\frac n2$ da $$\sum_i a_i < 2n$$ Sumando la segunda desigualdad sobre todos los $k \le \frac n2$ da $$\sum_i a_i > 2n$$ que no puede ser. Por lo tanto, no hay soluciones con $a_k \ne 2$ .
