$\pi$ de un triángulo rectángulo y un círculo

Question

Tengo un triángulo rectángulo que está inscrito en un círculo de radio $r$ la hipotonía del triángulo es igual al diámetro del círculo y los otros dos lados del triángulo son iguales entre sí.

Demuestra que al dividir el área del círculo entre el área del triángulo se obtiene $\pi$ .

Esto es lo que hice:

El área de un triángulo es $\frac{height\times width}{2}$ y el área de un círculo es $\pi r^2$ . Ahora no sé cómo continuar.

Answer 1

Pistas:

• Hay que calcular la altura y la anchura en términos de $r$ Hay dos maneras de hacer esto que darán la misma área

• Hay que dividir el área del círculo por el área del triángulo

Answer 2

Pista: Encuentra el lado del triángulo utilizando el teorema de Pitágoras.
$hypotenuse=2r$

Answer 3

La tarea dada "el triángulo rectángulo" y "otros dos lados del triángulo son iguales entre sí". Esto significa que se trata de un triángulo rectángulo iscóceles o $45-45-90$ triángulo.

Supongamos que este es el $45-45-90$ triángulo $ABC$ derecha e isoceles en $A$ , dibujar la altitud $AH$ (perpendicular a $BC$ ), entonces podemos demostrar que $HA=HB=HC=\dfrac{BC}{2}=r$ . Así que el área de $\Delta{ABC}$ es:

$\dfrac{\text{base}\times \text{height}}{2}=\dfrac{2r\times r}{2}=r^2$

También se puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular $AB$ y $AC$ , entonces utiliza la fórmula especial para calcular el área del triángulo rectángulo (en este caso, también es isóceles).

Answer 4

Bien, en primer lugar vamos a resumir las cosas que podemos decir sobre este problema y después podemos plantear un sistema de ecuaciones.

1. Por el Teorema de Pitágoras podemos escribir: $$\left|\text{AB}\right|^2=\left|\text{AC}\right|^2+\left|\text{BC}\right|^2\tag1$$  2. El área cerrada por un círculo está dada por: $$\mathcal{A}_{\space\circ}=\pi\cdot\text{r}_{\space\circ}^2\tag2$$

Donde $\text{r}_{\space\circ}$ es el radio del círculo.

3. La conexión entre el radio y el diámetro de un círculo viene dado por: $$\text{d}_{\space\circ}=2\cdot\text{r}_{\space\circ}\tag3$$  4. El área de un triángulo está dada por: $$\mathcal{A}_{\space\triangle}=\frac{1}{2}\cdot\text{b}_{\space\triangle}\cdot\text{h}_{\space\triangle}\tag4$$ Donde $\text{b}_{\space\triangle}$ es la longitud de la base del triángulo, y $\text{h}_{\space\triangle}$ es la altura o altitud del triángulo.

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Ahora, por su pregunta sabemos que:

 - El Hipotenusa del triángulo es igual al diámetro del círculo: $$\left|\text{AB}\right|=\text{d}_{\space\circ}\tag5$$  - Los otros dos lados del triángulo rectángulo , $\triangle\text{ABC}$ son iguales entre sí: $$\left|\text{AC}\right|=\left|\text{BC}\right|\tag6$$  - El $\text{b}_{\space\triangle}$ y $\text{h}_{\space\triangle}$ de $\triangle\text{ABC}$ son iguales entre sí e iguales a los otros dos lados del triángulo rectángulo: $$\text{b}_{\space\triangle}=\text{h}_{\space\triangle}=\left|\text{AC}\right|=\left|\text{BC}\right|\tag7$$

Por lo tanto, podemos escribir:

$$ \begin{cases} \left|\text{AB}\right|=\text{d}_{\space\circ}\\ \\ \text{d}_{\space\circ}=2\cdot\text{r}_{\space\circ}\\ \\ \mathcal{A}_{\space\circ}=\pi\cdot\text{r}_{\space\circ}^2\\ \\ \left|\text{AB}\right|^2=\left|\text{AC}\right|^2+\left|\text{AC}\right|^2=2\cdot\left|\text{AC}\right|^2\\ \\ \mathcal{A}_{\space\triangle}=\frac{1}{2}\cdot\text{b}_{\space\triangle}\cdot\text{h}_{\space\triangle}\\ \\ \text{b}_{\space\triangle}=\text{h}_{\space\triangle}=\left|\text{AC}\right|=\left|\text{BC}\right| \end{cases}\tag8 $$

Que dan para $\mathcal{A}_{\space\triangle}$ :

$$\mathcal{A}_{\space\triangle}=\frac{\mathcal{A}_{\space\circ}}{\pi}\space\Longleftrightarrow\space\frac{\mathcal{A}_{\space\circ}}{\mathcal{A}_{\space\triangle}}=\pi\tag9$$

Answer 5

Pista: El área de este triángulo viene dada por $$A_1=\frac{2r\cdot r}{2}=r^2$$ y el área del círculo es $$A_2=\pi r^2$$