Si $X \hookrightarrow Y$ y $x_n \rightarrow x$ en $X$ entonces $x_n \rightarrow x$ en $Y$ ?

Question

Dejemos que $X=(X, \|\cdot\|_X)$ y $Y=(Y, \|\cdot\|_Y)$ sean espacios de Banach tales que $X \hookrightarrow Y$ Es decir, $X$ es una incrustación continua en $Y$ . En otras palabras, $X \subset Y$ y existe una constante $c>0$ tal que $$\|u\|_Y \leq c\|u\|_X,\; \forall u \in X. \tag{1}$$

Pregunta. Dada una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset X$ tal que $x_n \rightarrow x$ en $X$ entonces $x_n \rightarrow x$ en $Y$ ?

Creo que esto es cierto, ya que $x \in X \subset Y$ y por $(1)$ tenemos $$\|x_n-x\|_X \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad \|x_n-x\|_Y \rightarrow 0.$$

¿Mi razonamiento es correcto?

Answer 1

Sí, tu razonamiento es correcto. Como has dicho, tienes $\|x_n-x\|_Y\leq c\cdot\|x_n-x\|_X$ por cada $n$ (y claramente $\|x_n-x\|_Y\geq 0$ ), por lo que el hecho de que el lado derecho sea cero significa que el lado izquierdo también debe ser cero.