Orden de los elementos no triviales es 2 implica Grupo abeliano

Question

Si el orden de todos los elementos no triviales de un grupo es 2, el grupo es abeliano. Conozco una prueba de que es sólo de cálculos (véase abajo). Me pregunto si hay alguna teoría o motivación detrás de este hecho. ¿Tal vez hacerlo con conmutadores?

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Prueba: $a \cdot b = (b \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot a) = b \cdot (b \cdot a) \cdot (b\cdot a) \cdot a = b \cdot a$.

Answer 1

Tomando inversos invierte el orden de la multiplicación, así que si cada elemento es su propia multiplicación inversa debe ser conmutativa.

Answer 2

Como cada elemento de identidad-no tiene orden dos, $a^{-1} = a$ para cualquier elemento del grupo. Por lo tanto $$[a, b] = aba^{-1}b^{-1} = abab = (ab)^2 = e.$ $ por lo tanto, el grupo es abeliano. ¿Esto es demasiado calculationy?

Answer 3

$[a,b]=1$ % todo $a,b\in G$si y sólo si $G$ es abeliano. Se demostró que el $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab=1$ arriba - esto es la conexión a conmutadores.

No sé de ningún fuerte motivación detrás de este hecho aparte de, supongo, sabiendo que cualquier nonabelian grupo debe tener un elemento de orden $>2$. Creo que es sólo un ejercicio estándar.

Te puede interesar motivationally para demostrar que $G/H$ es abeliano si y solamente si $G'\leqslant H$ (si $H \unlhd G$).

Answer 4

La idea de este enfoque es trabajar con una clase de muy pequeño, finito, subgrupos $H$ $G$ en el que podemos demostrar la conmutatividad. La razón para esto es ser capaz de utilizar los resultados como del teorema de Cauchy y del teorema de Lagrange.

Considerar el subgrupo $H$ generado por dos distintas, nonidentity elementos $a,b$ en el grupo dado. El grupo $H$ se compone de cadenas de instancias de $a$$b$. Por inducción sobre la longitud de una cadena, uno puede mostrar que cualquier cadena de longitud 4 o más es igual a una cadena de longitud 3 o más corto.

El uso de este hecho podemos enumerar los siete posibles elementos de $H$: $$1,a,b,ab,ba,aba,bab.$$ By (the contrapositive of) Cauchy's Theorem, the only prime divisor of $|H|$ is 2. This implies the order of $H$ is either $1$, $2$, or $4$.

Si $|H|=1$ o $2$, entonces cualquiera de las $a$ o $b$ es la identidad, una contradicción.
Por lo tanto $|H|$ tiene cuatro elementos. El subgrupo generado por a $a$ es de orden 2; su índice en $H$ es 2, por lo que es un subgrupo normal. Por lo tanto, la izquierda coset $\{b,ba\}$ es el mismo que el de la derecha coset$\{b,ab\}$, y como resultado de $ab=ba$.