Dada una función holomorfa $f:\Omega\subset\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}$ con $\Omega$ abierta y conectada, ¿cuándo es posible encontrar una holomorfa $m-$ primitiva, es decir, una función holomorfa (en cada variable) $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ tal que \begin{equation} f=\dfrac{\partial g}{\partial z_m}? \end{equation} Quizás, es simplemente una consecuencia de la versión de 1 variable del problema de encontrar una primitiva de una función holomorfa, donde basta con suponer $\Omega$ simplemente conectados, por lo que en la versión de varias variables, si uno define \begin{equation} \Omega_m:=\{w\in\mathbb{C}\mid (z_1,...,z_{m-1},w,z_{m+1},...,z_n)\in\Omega\} \end{equation} entonces si $\Omega_m$ es simplemente conectado, tal $m-$ primitivo $g$ ¿existe? ¿Puede alguien darme una prueba bastante formal? Gracias de antemano.
Respuesta
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Mi intento.
Definir $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ por \begin{equation} g(z_1,...,z_n):=\int_{z^0_m}^{z_m}f(z_1,...,z_{m-1},w,z_{m+1},...,z_n)dw, \end{equation} donde $z^0=(z^0_1,...,z^0_n)$ es cualquier punto en $\Omega$ .
Tenga en cuenta que $g$ está bien definida ya que no depende de la elección del camino entre $z^0_m$ y $z_m$ . En efecto, dejemos que $\gamma_1$ y $\gamma_2$ dos caminos cualesquiera entre $z^0_m$ y $z_m$ entonces $\gamma_1\cup -\gamma_2$ es cerrado y como $\Omega_m$ es simplemente conectado, el Teorema de Cauchy aplicado a la función holomorfa $f$ garantiza que $$\int_{\gamma_1}f-\int_{\gamma_2}f=0.$$ Ahora, por el teorema fundamental del cálculo se sostiene $\dfrac{\partial g}{\partial x_m}=f$ Además $g$ es holomorfa, ya que $$\dfrac{\partial g}{\partial{\bar{z}_j}}=\int_{z^0_m}^{z_m}\dfrac{\partial f}{\partial{\bar{z}_j}}dw=0.$$
