¿Cómo se construye el $SU(2)$ representación del Grupo de Lorentz utilizando $SU(2)\times SU(2)\sim SO(3,1)$ ?

Question

Esta pregunta se basa en el problema II.3.1 del libro Quantum Field Theory in a Nutshell de Anthony Zee

Demuestre, mediante un cálculo explícito, que $(1/2,1/2)$ es el vector de Lorentz.

Veo que los generadores de SU(2) son las matrices de Pauli y los generadores de SO(3,1)es una matriz compuesta por dos matrices de Pauli a lo largo de la diagonal. ¿Es siempre el caso que el Producto Directo de dos grupos se forme a partir de los generadores así?

Lo pregunto porque estoy intentando escribir un impulso de Lorentz como dos rotaciones de cuaterniones simultáneas [las rotaciones de los cuaterniones unitarios son isomorfas a SU(2)] y tranformar entre los dos métodos. ¿Es esto posible?

En otras palabras, ¿cómo construyo la representación SU(2) del Grupo de Lorentz utilizando el hecho de que $SU(2)\times SU(2) \sim SO(3,1)$ ?

He aquí algunos antecedentes:

Zee ha demostrado que el álgebra del grupo de Lorentz está formada por dos $SU(2)$ álgebras [ $SO(3,1)$ es isomorfo a $SU(2)\times SU(2)$ ] porque el álgebra de Lorentz satisface:

$$\begin{align}[J_{+i},J_{+j}] &= ie_{ijk}J_{k+} & [J_{-i},J_{-j}] &= ie_{ijk} J_{k-} & [J_{+i},J_{-j}] &= 0\end{align}$$

Las representaciones de $SU(2)$ están etiquetados por $j=0,\frac{1}{2},1,\ldots$ por lo que el $SU(2)\times SU(2)$ rep está etiquetado por $(j_+,j_-)$ con el $(1/2,1/2)$ siendo el vector 4 de Lorentz porque y cada representación contiene $(2j+1)$ elementos así $(1/2,1/2)$ contiene 4 elementos.

Answer 1

He aquí una derivación matemática. Utilizamos la convención de signos $(+,-,-,-)$ para la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ .

I) En primer lugar, recuerda el hecho de que

$SL(2,\mathbb{C})$ es (la doble cobertura de) la restringida Grupo de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$ .

Esto se debe en parte a que:

1. Existe una isometría biyectiva desde el espacio de Minkowski $(\mathbb{R}^{1,3},||\cdot||^2)$ al espacio de $2\times2 $ Matrices hermitianas $(u(2),\det(\cdot))$ , $$\mathbb{R}^{1,3} ~\cong ~ u(2) ~:=~\{\sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid \sigma^{\dagger}=\sigma \} ~=~ {\rm span}_{\mathbb{R}} \{\sigma_{\mu} \mid \mu=0,1,2,3\}, $$ $$\mathbb{R}^{1,3}~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3) \quad\mapsto \quad\sigma~=~x^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ u(2), $$ $$ ||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(\sigma), \qquad \sigma_{0}~:=~{\bf 1}_{2 \times 2}.\tag{1}$$

2. Hay un acción de grupo $\rho: SL(2,\mathbb{C})\times u(2) \to u(2)$ dado por $$g\quad \mapsto\quad\rho(g)\sigma~:= ~g\sigma g^{\dagger}, \qquad g\in SL(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma\in u(2), \tag{2}$$ que preserva la longitud, es decir $g$ es una transformación pseudo-ortogonal (o de Lorentz). En otras palabras, hay una Homomorfismo de grupo de Lie
   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad O(u(2),\mathbb{R})~\cong~ O(1,3;\mathbb{R}) .\tag{3}$$

3. Desde $\rho$ es un mapa continuo y $SL(2,\mathbb{C})$ es un conjunto conexo, la imagen $\rho(SL(2,\mathbb{C}))$ debe ser de nuevo un conjunto conectado. De hecho, se puede demostrar que existe una Homomorfismo de grupo de Lie $^1$
   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO^+(u(2),\mathbb{R})~\cong~ SO^+(1,3;\mathbb{R}) , $$ $$\rho(\pm {\bf 1}_{2 \times 2})~=~{\bf 1}_{u(2)}.\tag{4}$$

4. El Grupo de Lie $SL(2,\mathbb{C})=\pm e^{sl(2,\mathbb{C})}$ tiene Álgebra de Lie $$ sl(2,\mathbb{C}) ~=~ \{\tau\in{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid {\rm tr}(\tau)~=~0 \} ~=~{\rm span}_{\mathbb{C}} \{\sigma_{i} \mid i=1,2,3\}.\tag{5}$$

5. El homomorfismo de grupo de Lie $\rho: SL(2,\mathbb{C}) \to O(u(2),\mathbb{R})$ induce un homomorfismo del álgebra de Lie $$\rho: sl(2,\mathbb{C})\to o(u(2),\mathbb{R})\tag{6}$$ dado por $$ \rho(\tau)\sigma ~=~ \tau \sigma +\sigma \tau^{\dagger}, \qquad \tau\in sl(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma\in u(2), $$ $$ \rho(\tau) ~=~ L_{\tau} +R_{\tau^{\dagger}},\tag{7}$$ donde hemos definido la multiplicación por la izquierda y por la derecha de $2\times 2$ matrices $$L_{\sigma}(\tau)~:=~\sigma \tau~=:~ R_{\tau}(\sigma), \qquad \sigma,\tau ~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{8}$$

II) Obsérvese que el álgebra de Lie de Lorentz $so(1,3;\mathbb{R}) \cong sl(2,\mathbb{C})$ hace no $^2$ contienen dos copias perpendiculares de, por ejemplo, el álgebra de Lie real $su(2)$ o $sl(2,\mathbb{R})$ . Para comparar y completar, mencionemos que para otras firmas en $4$ dimensiones, se tiene

$$SO(4;\mathbb{R})~\cong~[SU(2)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2, \qquad\text{(compact form)}\tag{9}$$

$$SO^+(2,2;\mathbb{R})~\cong~[SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})]/\mathbb{Z}_2.\qquad\text{(split form)}\tag{10}$$

La forma compacta (9) tiene una buena demostración utilizando cuaterniones

$$(\mathbb{R}^4,||\cdot||^2) ~\cong~ (\mathbb{H},|\cdot|^2)\quad\text{and}\quad SU(2)~\cong~ U(1,\mathbb{H}),\tag{11}$$

ver también este Puesto de Math.SE y este Puesto de Phys.SE. La forma dividida (10) utiliza una isometría biyectiva

$$(\mathbb{R}^{2,2},||\cdot||^2) ~\cong~({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}),\det(\cdot)).\tag{12}$$

Para descomponer el espacio de Minkowski en representaciones de espinores de Weyl de mano izquierda y derecha, hay que ir a la complejización es decir, hay que utilizar el hecho de que

$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ es (la doble cobertura de) el grupo de Lorentz propio complejizado $SO(1,3;\mathbb{C})$ .

Nótese que las Refs. 1-2 no discuten la complejización $^2$ . Se puede repetir más o menos la construcción de la sección I con los números reales $\mathbb{R}$ sustituido por números complejos $\mathbb{C}$ Sin embargo, con algunas advertencias importantes.

1. Existe una isometría biyectiva desde el espacio de Minkowski complejizado $(\mathbb{C}^{1,3},||\cdot||^2)$ al espacio de $2\times2 $ matrices $({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\det(\cdot))$ , $$\mathbb{C}^{1,3} ~\cong ~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) ~=~ {\rm span}_{\mathbb{C}} \{\sigma_{\mu} \mid \mu=0,1,2,3\}, $$ $$ M(1,3;\mathbb{C})~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3) \quad\mapsto \quad\sigma~=~x^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) , $$ $$ ||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(\sigma).\tag{13}$$ Obsérvese que las formas se toman como bilineales y no como sesquilíneo .

2. Existe un homomorfismo suryecto de grupo de Lie $^3$
   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})~\cong~ SO(1,3;\mathbb{C})\tag{14}$$ dado por $$(g_L, g_R)\quad \mapsto\quad\rho(g_L, g_R)\sigma~:= ~g_L\sigma g^{\dagger}_R, $$ $$ g_L, g_R\in SL(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{15} $$

3. El grupo de Lie $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ tiene el álgebra de Lie $sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})$ .

4. El homomorfismo de grupo de Lie
   $$\rho: SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})\tag{16}$$ induce un homomorfismo del álgebra de Lie $$\rho: sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})\quad\to\quad so({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})\tag{17}$$ dado por $$ \rho(\tau_L\oplus\tau_R)\sigma ~=~ \tau_L \sigma +\sigma \tau^{\dagger}_R, \qquad \tau_L,\tau_R\in sl(2,\mathbb{C}),\qquad \sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}), $$ $$ \rho(\tau_L\oplus\tau_R) ~=~ L_{\tau_L} +R_{\tau^{\dagger}_R}.\tag{18}$$

La acción de la izquierda (que actúa desde la izquierda sobre un vector columna complejo bidimensional) da lugar, por definición, a la representación del espinor (de Weyl a la izquierda) $(\frac{1}{2},0)$ mientras que la acción de la derecha (que actúa desde la derecha sobre un vector de fila complejo bidimensional) da lugar, por definición, a la representación del espinor conjugado de Weyl/complejo de la derecha $(0,\frac{1}{2})$ . Lo anterior demuestra que

El espacio de Minkowski complejizado $\mathbb{C}^{1,3}$ es un $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ representación del grupo de Lie $SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})$ cuya acción respeta la métrica de Minkowski.

Referencias:

1. Anthony Zee, La teoría cuántica de campos en una cáscara de nuez, 1ª edición, 2003.

2. Anthony Zee, La teoría cuántica de campos en una cáscara de nuez, 2ª edición, 2010.

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$^1$ Es fácil comprobar que es no es posible describir transformaciones discretas de Lorentz, como por ejemplo paridad $P$ , la inversión del tiempo $T$ o $PT$ con un elemento del grupo $g\in GL(2,\mathbb{C})$ y la fórmula (2).

$^2$ Para reírse, compruebe la segunda frase (en varios sentidos) errónea de la página 113 de la Ref. 1: "Los matemáticos sofisticados dicen que el álgebra $SO(3,1)$ es isomorfo a $SU(2)\otimes SU(2)$ ." La declaración corregida sería, por ejemplo "Los matemáticamente sofisticados dicen que el grupo $SO(3,1;\mathbb{C})$ es localmente isomorfo a $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ ." No obstante, me apresuro a añadir que el libro de Zee es, en general, un libro muy agradable. En la Ref. 2, se ha eliminado la frase anterior y se ha añadido una subsección denominada "Más sobre $SO(4)$ , $SO(3,1)$ y $SO(2,2)$ " se añade en la página 531-532.

$^3$ No es posible imitar una transformación de Lorentz impropia $\Lambda\in O(1,3;\mathbb{C})$ [es decir, con determinante negativo $\det (\Lambda)=-1$ ] con la ayuda de dos matrices $g_L, g_R\in GL(2,\mathbb{C})$ en la fórmula (15); como, por ejemplo, la transformación de paridad espacial $$P:~~(x^0,x^1,x^2,x^3) ~\mapsto~ (x^0,-x^1,-x^2,-x^3).\tag{19}$$ Del mismo modo, las representaciones del espinor de Weyl son representaciones de (la doble cobertura de) $SO(1,3;\mathbb{C})$ pero no de (la doble portada de) $O(1,3;\mathbb{C})$ . Por ejemplo, la transformación de paridad espacial (19) se entrelaza entre las representaciones de espinores de Weyl zurdos y derechos.

Answer 2

Para el problema que nos ocupa formulado de forma precisa, " Demuestre que el $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ representación de la $\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$ grupo es* el vector 4 de Lorentz" la solución -que no es tan evidente en el, por otra parte, buen post de Qmechanic- debe ser expuesta por cálculo directo / de fuerza bruta. Esto es relativamente fácil, y cito mi trabajo de graduación (escrito en mi rumano nativo)

PARTE 1:

Dejemos que $\psi_{\alpha}$ sean las componentes de un espinor de Weyl wrt la base canónica en un espacio vectorial de 2 dimensiones en el que la fundamental $\left(\frac{1}{2},0\right)$ representación de $\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$ "vidas". Idem para $\bar{\chi}_{\dot{\alpha}}$ y la representación contragradiente del mismo grupo, $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ . Entonces, como aplicación del teorema de Clebsch-Gordan para $\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$ :

LEMA:

$\begin{equation} \psi _{\alpha }\otimes \overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\equiv \psi _{\alpha }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}=\left[ \frac{1% }{2}\psi ^{\beta }\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{% \beta }}\overline{\chi }^{\stackrel{\bullet }{\beta }}\right] \left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}\equiv V^{\mu}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}\text{.} \end{equation}$

PRUEBA:

$\left[ \frac{1}{2}\psi ^{\beta }\left( \sigma _{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\overline{\chi }^{\stackrel{\bullet }{\beta }% }\right] \left( \sigma ^{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}=% \frac{1}{2}\left( \varepsilon ^{\beta \gamma }\psi _{\gamma }\right) \left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \varepsilon ^{\stackrel{\bullet }{\beta }\stackrel{\bullet }{\gamma }}\overline{\chi }_{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}\right) \left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }} \\ =-\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\varepsilon ^{\beta \gamma }\varepsilon ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\overline{\chi }_{\stackrel{% \bullet }{\gamma }}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{% \alpha }} \\ =\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\left[ \varepsilon ^{\gamma \beta }\varepsilon ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\right] \overline{\chi }_{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{% \bullet }{\alpha }} \\ =\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\gamma }% }\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }% \gamma }\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }} \\ =\psi _{\gamma }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\gamma }}\delta _{% \stackrel{\bullet }{\alpha }}^{\stackrel{\bullet }{\gamma }}\delta _{\alpha }^{\gamma }=\psi _{\alpha }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }} $

Esta prueba hace que las matrices de Pauli se vean como coeficientes de Clebsch-Gordan.

PARTE 2:

TEOREMA:

$V^{\mu}\left(\psi,\chi\right)$ definido anteriormente es un 4-vector de Lorentz (es decir, son componentes de un 4-vector de Lorentz visto como un miembro genérico de un espacio vectorial que lleva la representación fundamental del grupo restringido de Lorentz $\mathfrak{Lor}(1,3)$ ).

PRUEBA:

$V'^{\mu}\equiv \left( \phi ^{\prime }\right) ^{\alpha }\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\chi }^{\prime }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\beta }}=-\left( \overline{\chi }^{\prime }\right) _{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }\left( \phi ^{\prime }\right) _{\beta }=-\left( M^{*}\right) _{\stackrel{\bullet }{\alpha }}{}^{\stackrel{% \bullet }{\beta }}\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\gamma } \\ =-\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( M^{\dagger }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\beta }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\gamma } \\ =-\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\delta _{\stackrel{\bullet }{% \gamma }}^{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( M^{\dagger }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\delta _{\gamma }^{\zeta }\phi _{\zeta } \\ =-\frac{1}{2}\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{% \sigma }^{\nu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\beta }\zeta }\left( \sigma _{\nu }\right) _{\gamma \stackrel{\bullet }{\gamma }}\left( M^{\dagger }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }% }\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\zeta } \\ =-\frac{1}{2}\left[ \left( M^{\dagger }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }% }{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\left( \sigma _{\nu }\right) _{\gamma \stackrel{\bullet }{\gamma }}\right] \left[ \overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\sigma }^{\nu }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\beta }\zeta }\phi _{\zeta }\right] \\ =-\frac{1}{2}Tr\left( M^{\dagger }\overline{\sigma }^{\mu }M\sigma _{\nu }\right) \left( \overline{\chi }\overline{\sigma }^{\nu }\phi \right) \\ =-\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) \left( \overline{\chi }\overline{% \sigma }^{\nu }\phi \right) \\ =\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) \left( \phi \sigma ^{\nu }\overline{% \chi }\right) \equiv \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) V^{\nu} $

*es = en el sentido de la teoría de la representación de grupos, significa que los espacios vectoriales portadores de las dos representaciones son isomorfos, que es el contenido del lema. Nota para el lector: la prueba del teorema utiliza el hecho de que estos espinores "clásicos" tienen paridad 1 de Grassmann. Esto explica la aparición y desaparición del signo "-".