Solución explícita de una ecuación de cociente de Rayleigh

Question

¡Durante 5 meses! He estado luchando para resolver las siguientes ecuaciones analíticamente sin método numérico (es decir, el método de Newton):

Ecuación principal:

$$ \biggl(M^2-\cfrac{\mathbf{x^{\text{T}}}M^2\mathbf{x}}{\mathbf{x^{\text{T}}}\mathbf{x}}E\biggr)\mathbf{x}=\mathbf{1} $$

Ecuaciones de restricción:

$$ \begin{cases} \mathbf{x^{\text{T}}1}=0 \\ \\ \mathbf{x^{\text{T}}x}=u \end{cases} $$

donde $\{M,E\}\in\mathbf{R}^{n \times n}$ y $\{\mathbf{1},\mathbf{x}\}\in\mathbf{R}^n$ están definidos, entonces $M$ es una matriz simétrica arbitraria, $E$ es una matriz idéntica, $\mathbf{1}$ es todo un vector, $\mathbf{x}$ es un vector variable y $u\in\mathbf{R}$ es un escalar. Además, como conocimiento, la forma de la ecuación de abajo se llama Rayleigh cociente $R(M^2,\mathbf{x})$ :

$$R(M^2,\mathbf{x}):=\cfrac{\mathbf{x^{\text{T}}}M^2\mathbf{x}}{\mathbf{x^{\text{T}}}\mathbf{x}}$$

Ahora, intentamos estimar el $\mathbf{x}$ . ¿Existe la solución analítica o el método? Mi habilidad es escasa pero, supongo que este problema tiene una bella solución. Además, la ecuación principal es una ecuación cúbica simultánea. Teóricamente, esto es solucionable. Simplemente, esta es mi pregunta sobre el tema.

Answer 1

Puede que ya lo sepas, pero tu ecuación principal es equivalente al sistema $$ \begin{cases} (M^2-\lambda E)\mathbf{x} = \mathbf{1} & (*) \\ \mathbf{x}^T (M^2 - \lambda E) \mathbf{x} = 0 & (**) \end{cases}. $$ La primera restricción, $\mathbf{x}^T \mathbf{1} = 0$ , se deduce de las ecuaciones, mientras que la segunda, $\mathbf{x}^T \mathbf{x} = u$ . en general no lo hace. Una observación obvia entonces es que su ecuación puede no tener ninguna solución (a menos que la matriz $M$ es algo especial), porque el número de ecuaciones supera el número de incógnitas.

He aquí una forma de simplificar el sistema anterior, bajo el supuesto de que $\lambda$ no es un valor propio de $M^2$ . Sea $W(\lambda) = (M^2-\lambda E)^{-1}$ que por hipótesis es invertible. Entonces $\mathbf{x} = W(\lambda) \mathbf{1}$ , por $(*)$ y $\mathbf{1}^T W(\lambda) \mathbf{1} = 0$ , por $(**)$ . La última ecuación escalar, cuando se multiplica por $\det (M^2-\lambda E)$ se convierte en un polinomio en $\lambda$ de grado $n$ y en general da $n$ soluciones. La ecuación de restricción se convierte en $\mathbf{1}^T W(\lambda)^2 \mathbf{1} = u$ . En general, dos ecuaciones independientes para $\lambda$ no le dará ninguna solución.

También es posible examinar el caso cuando $\lambda$ es un valor propio de $M^2$ con el vector propio $\mathbf{e}$ . Entonces, $(*)$ tiene soluciones sólo si $\mathbf{e}^T \mathbf{1} = 0$ . Supongamos que es el caso y denotamos por $W^+(\lambda)$ el pseudoinverso de $(M^2-\lambda E)$ . Entonces, la solución general de $(*)$ es $\mathbf{x} = W^+(\lambda) \mathbf{1} + \mu \mathbf{e}$ que convierte $(**)$ y la restricción al sistema $$ \begin{cases} \mathbf{1}^T W^+(\lambda) \mathbf{1} = 0 \\ \mathbf{1}^T W^+(\lambda)^2 \mathbf{1} + \mu^2 \mathbf{e}^T \mathbf{e} = u \end{cases} . $$ Ahora tienes dos ecuaciones para dos incógnitas $(\lambda,\mu)$ por lo que, en general, es de esperar que se encuentren soluciones no triviales.

Answer 2

Desde $M^2$ es simétrica, es diagonalizable con vectores propios ortogonales. También los valores propios son positivos. Sea $(v_i)$ sea una base ortonormal de vectores propios para $M^2$ con valores propios $\lambda_i\ge 0$ . Ahora exprese $\mathbf 1$ en términos de los vectores propios como $\sum b_iv_i$ y escribir $\mathbf x=\sum a_iv_i$ . Las ecuaciones se reducen a $a_i(\lambda_i-K)=b_i$ , donde $K$ es el cociente de Rayleigh $(\sum \lambda_i a_i^2)/(\sum a_i^2)$ .

Yo lo enfocaría definiendo para cada $t$ , $\alpha_i(t)=b_i/(\lambda_i-t)$ y luego $F(t)$ para ser el cociente de Rayleigh para la correspondiente familia de $(\alpha_i(t))$ Es decir $$ F(t)=\left(\sum \lambda_i \frac {b_i^2}{(\lambda_i-t)^2}\right)\Big / \left(\sum \frac{b_i^2}{(\lambda_i-t)^2}\right). $$ Si para algunos $t$ , $F(t)=t$ , entonces tiene una solución a sus ecuaciones (a saber $a_i=\alpha_i(t)$ ). Multiplicando por los denominadores de ambos lados, se ve que $F(t)$ es una función continua de $t$ , acotado entre $\min\lambda_i$ y $\max\lambda_i$ . Por tanto, siempre hay una solución a la ecuación (por el teorema del valor intermedio).

Pero no creo que debas esperar encontrar una solución analítica, ya que esto parece ser esencialmente lo mismo que resolver un grado típico $2n$ ecuación polinómica.