Medida de Borel singular no trivial con respecto a la medida de Lebesgue

Question

El problema:

¿Existe una medida de Borel no trivial $\mu$ singular respecto a la medida de Lebesgue en Borel $\sigma-$ álgebra con $$\mu({x})=0,\forall x\in \mathbb{R}^1$$

Mi pensamiento: Si sucede, existe un conjunto medible $E$ tal que $$\mu({E})>0$$ Y $E$ no puede contener ningún conjunto abierto, sino que contiene puntos únicos incontables. Parece que podemos construir la medida utilizando el conjunto de Cantor. Sin embargo, ¿cómo hacerlo concretamente?

Answer 1

La función de Cantor [ véase https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor\_function ] es una función continua creciente $F: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $F'(x)=0$ a.e. (con la medida de Lebesgue), $ F(-\infty )=0$ y $F(\infty)=1$ . Existe una medida de probabilidad de Borel $\mu $ en $\mathbb R$ tal que $\mu (-\infty, x]=F(x)$ para todos $x \in \mathbb R$ . Esta medida satisface sus necesidades.