Probar la existencia de alguna deformación retraída

Question

Estoy tratando de averiguar si el conjunto $ S ^n \times S^n \setminus \left\lbrace (x,x) \mid x \in S^n \right\rbrace$ deformación se retrae en el subespacio $\left\lbrace (x,-x) \mid x \in S^n \right\rbrace$ .

He tratado de encontrar la homotopía en vano.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Pista: Para cualquier par de puntos distintos x, y en la esfera existe una única gran circunferencia que pasa por estos puntos y esta circunferencia depende continuamente de x, y. Ahora, desliza y a lo largo de esta circunferencia hacia -x.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa (lo siento), sino una sugerencia para un nuevo enfoque para encontrar su homotopía. En lugar de las coordenadas estándar para $\mathbb{R}^n$ , intente utilizar el siguiente sistema de coordenadas.

Para cualquier $(x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ el siguiente proporciona un cambio de variable a $(\rho, \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_{n-1})$ : \begin{eqnarray*} x_1 &=& \rho \sin(\theta_{n-1}) \sin(\theta_{n-2}) \cdots \sin(\theta_2) \sin(\theta_1) \\ x_2 &=& \rho \sin(\theta_{n-1}) \sin(\theta_{n-2}) \cdots \sin(\theta_2) \cos(\theta_1) \\ &\vdots& \\ x_i &=& \rho \sin(\theta_{n-1}) \sin(\theta_{n-2}) \cdots \sin(\theta_{i-1}) \sin(\theta_i) \cos(\theta_{i-1}) \\ &\vdots& \\ x_n &=& \rho \cos(\theta_{n-1}) \end{eqnarray*} Donde $\rho \in \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$ , $0 \leq \theta_1 < 2\pi$ y $0 \leq \theta_i \leq \pi$ proporcionado $2 \leq i \leq n-1$ .

Se puede demostrar que este sistema es suficiente para generar la 1-esfera $\mathbb{S}^n$ para todos $n \in \mathbb{Z}^+$ Aunque los detalles de una prueba son un poco complicados. Para sus propósitos es suficiente con dejar que $\rho = 1$ .

Esta es una generalización de las coordenadas polares que se me ocurrió para responder a una pregunta similar sobre los repliegues en el $n$ -esfera. Básicamente, el problema al que me enfrentaba era cómo mantener el mapa en $\mathbb{S}^n$ . Esto proporcionó una manera de hacerlo. Espero que esto ayude, aunque sea un poco.