El pensamiento abstracto frente al cálculo

Question

Jeremy Avigad y Erich Reck afirman que un factor que condujo a la matemática abstracta a finales del siglo XIX (en contraposición a la matemática concreta o al análisis duro) fue el uso de nociones más abstractas para obtener los mismos resultados con menos cálculos.

Permítanme citarlos de su notable historia papel "Aclarando la naturaleza del infinito: el desarrollo de la metamatemática y la teoría de la prueba".

El aumento gradual del punto de vista opuesto, con su énfasis en el concepto y la caracterización abstracta, está elegantemente descrita por Stein ( La máquina del retroceso ), como parte de lo que él llama el "segundo nacimiento" de las matemáticas. La siguiente cita, de Dedekind, deja muy clara la diferencia de opiniones:

Una teoría basada en el cálculo, según me parece, no oer el más alto grado de perfección; es preferible, como en la moderna de las funciones, tratar de sacar las demostraciones no ya de los cálculos, sino de los cálculos, sino directamente de los conceptos fundamentales característicos de los conceptos fundamentales característicos, y construir la teoría de tal manera que que, por el contrario, esté en condiciones de predecir los resultados del cálculo (por ejemplo, las formas descomponibles de un grado).

En otras palabras, desde el punto de vista de Cantor-Dedekind, el concepto abstracto conceptual abstracta es preferible al cálculo.

¿Cuáles son los ejemplos concretos de campos concretos que evitan los cálculos mediante el uso de nociones abstractas? (En este caso, por "cálculo" se entiende cualquier tipo de tecnicismo rutinario). La teoría de las categorías y los topoi pueden proporcionar algunos ejemplos.

Gracias de antemano.

Answer 1

La primera prueba que vi de las relaciones de ortogonalidad para los caracteres de los grupos finitos era computacional: hacía muchos cálculos de matrices y manipulaciones de sumas, lo que no me gustó nada. Hay una prueba mucho más conceptual que comienza observando que el lema de Schur es equivalente a la afirmación de que

$$\text{dim Hom}(A, B) = \delta_{ab}$$

para representaciones irreducibles $A, B$ , donde $\text{Hom}$ denota el conjunto de $G$ -homomorfismos de módulos. Se observa entonces que $\textbf{Hom}(A, B) = A^{*} \otimes B$ es en sí mismo un $G$ -módulo y $\text{Hom}$ es precisamente el submódulo formado por las copias de la representación trivial. Por último, la proyección desde $\textbf{Hom}$ a $\text{Hom}$ se puede escribir

$$v \mapsto \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} gv$$

y la traza de una proyección es la dimensión de su imagen.

Me gusta especialmente esta demostración porque el enunciado de las relaciones de ortogonalidad es concreto y no abstracto, pero esta demostración muestra exactamente dónde se concreta el contenido abstracto (el lema de Schur, el teorema de Maschke) (el cálculo de la traza). También destaca el valor de ver la categoría de $G$ -como un objeto algebraico en sí mismo: una categoría monoidal simétrica con duales.

Además, esta interpretación del lema de Schur sugiere que $\text{Hom}(A, B)$ se comporta como una categorización del producto interior en un espacio de Hilbert, donde la distinción contravariante/covariante entre $A, B$ corresponde a la distinción conjugado-lineal/lineal entre la primera y la segunda entrada de un producto interno. Esto conduce a los espacios de 2-Hilbert y es una motivación básica para el término "adjunto" en la teoría de categorías, como explica, por ejemplo, John Baez aquí . También se relaciona con la mecánica cuántica, donde se piensa que el producto interior describe la amplitud de una transición entre dos estados ocurre y de $\text{Hom}(A, B)$ como la descripción de la forma en que se producen esas transiciones. John Baez explica ideas relacionadas aquí .

Answer 2

Un ejemplo de juguete, utilizando el lema de Yoneda:

Reclamación: Hay dos estructuras bialgebraicas canónicas (las estructuras "aditiva" y "multiplicativa") en $k[x]$ y una de ellas (la aditiva) la convierte de hecho en un álgebra de Hopf.

Prueba 1: (Cálculo.) ¡Escribe las fórmulas; comprueba los axiomas! No es un cálculo especialmente largo, pero es un poco tedioso; mientras que ver las fórmulas está bien, comprobar los axiomas no es (para mi gusto) especialmente esclarecedor.

Prueba 2: (Resumen.) "Bialgebra" = "comonoide en ( $k$ - Alg , $\otimes$ )". Sabemos que $k[x]$ es el libre $k$ -en un generador, por lo que hay un isomorfismo natural $\mathrm{Hom}(k[x],A) \cong A$ para cualquier $k$ -Álgebra $A$ . Así que $\mathrm{Hom}(k[x],A)$ es naturalmente un álgebra - por lo que tiene dos estructuras monoides naturales, + y $\cdot$ y bajo + es además un grupo. Según Yoneda, deben corresponder a dos estructuras comonoides en $k[x]$ ¡y el correspondiente a + debe ser Hopf!

Ahora, lo que realmente me gusta de esta prueba es que sigue conectando estrechamente con los cálculos. Por la forma en que funciona el lema de Yoneda, puedes leer cuáles son las dos estructuras de álgebra; pero ahora no tienes que comprobar los axiomas, ¡pues ya sabes que se cumplen! Además, ahora sabes que habrá una "ley codistributiva" que conectará las dos, lo que nunca se te habría ocurrido sólo con el primer enfoque Y también, esto da una forma de buscar estructuras de álgebras biales en otras álgebras: ¡mira lo que clasifican/representan!

Esto muestra, creo, gran parte del poder de los enfoques abstractos. Sitúan las fórmulas y los cálculos en una perspectiva más amplia; pueden ayudarte a realizar cálculos interesantes, al tiempo que te permiten omitir los tediosos; y pueden sugerirte cálculos que, de otro modo, no habrías pensado en hacer. Pero (como probablemente puedas adivinar) a mí también me encantan los cálculos: No querría ninguno de los dos sin el otro. Si las tonterías abstractas son el jardín, los cálculos concretos son las flores.

Answer 3

Un ejemplo llamativo que me viene a la mente es la prueba de Nathan Jacobson de que los anillos que satisfacen la identidad $X^m = X$ son conmutativos. Se trata de una teoría de modelos y se procede mediante un cierto tipo de factorización que reduce el problema a los factores (subdirectamente) irreducibles de la variedad. Estos resultan ser ciertos campos finitos, que son conmutativos, como se desea. Por la exhaustividad (de Birkhoff) también debe existir una prueba puramente ecuacional (en el lenguaje de los anillos), pero incluso para pequeños $m$ esto es notoriamente difícil, por ejemplo $m = 3$ se plantea a menudo como un difícil ejercicio . Hace poco que John Lawrence descubrió una prueba ecuacional general no teórica del modelo (como me informó Stan Burris). No sé sé si se ha publicado ya, pero véase su anterior trabajo [1]

Así que aquí, mediante el razonamiento estructural conceptual de "orden superior", uno es capaz de escapar de los confines de la lógica ecuacional de primer orden y dar una prueba más conceptual que las pruebas ecuacionales de fuerza bruta - argumentos tan desprovistos de intuición que pueden ser descubiertos por un probador automático de teoremas.

1 S. Burris y J. Lawrence, Term rewrite rules for finite fields.
International J. Algebra and Computation 1 (1991), 353-369. http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/MYWORKS/PAPERS/fields3.pdf

Answer 4

Teorema de finitud de Hilbert que podría decirse que "mató a la teoría clásica de invariantes" y dio lugar a la creación del álgebra abstracta.

Los primeros trabajos de Hilbert sobre funciones invariantes le llevaron a demostrar en 1888 su famoso teorema de la finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de los generadores para las formas binarias utilizando un enfoque computacional complejo. Los intentos de generalizar su método a las funciones con más de dos variables fracasaron debido a la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario tomar un camino completamente diferente. Como resultado, demostró Teorema de la base de Hilbert que muestra la existencia de un conjunto finito de generadores, para los invariantes de los cuánticos en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Es decir, si bien demostraba la existencia de dicho conjunto, no era una prueba constructiva -no mostraba "un objeto"- sino que era una prueba de existencia y se basaba en el uso de la Ley del Medio Excluido en una extensión infinita.

Answer 5

Mi teorema favorito, el teorema del índice de Atiyah-Singer, parece tener la propiedad deseada. El teorema afirma que el índice de Fredholm del operador de Dirac en una variedad de espín compacta $M$ es igual al $\hat{A}$ género. Hay dos tipos de pruebas esencialmente diferentes: un argumento global y conceptual basado en poco o ningún cálculo; y una prueba local detallada que implica trabajar con soluciones explícitas de las EDP. Hay muchas variaciones y elaboraciones de los dos enfoques; aquí hay una visión general básica.

Prueba global: Se considera la noción de mapa índice $K(T^*M) \to \mathbb{Z}$ de la teoría K del haz tangente de $M$ a los números enteros, caracterizado únicamente por unos pocos axiomas clave. A continuación, se construyen dos mapas que satisfacen los axiomas (y, por tanto, son iguales): un mapa de índices analítico construido mediante el análisis funcional y un mapa de índices topológico construido a partir de una incrustación de $M$ en $\mathbb{R}^n$ y el isomorfismo de Thom en la teoría K. El símbolo de un operador elíptico $D$ da lugar a un elemento de $K(T^*M)$ su índice analítico es simplemente el índice de Fredholm de $D$ mientras que en el caso de que $D$ es el operador de Dirac el índice topológico se puede identificar con el $\hat{A}$ género (al tomar los caracteres de Chern).

Prueba local: Primero se demuestra que el índice de Fredholm de $D$ viene dada por $Tr_s(e^{-t D^2})$ la supertraza del operador de solución de la ecuación del calor para $D$ . Un método iterativo estándar para la resolución de la ecuación del calor da lugar a una expansión asintótica para el núcleo de suavización $k_t$ del operador térmico, por lo que como el índice de Fredholm es independiente de $t$ uno es llevado a tratar de calcular el término constante en la expansión asintótica de $tr_s(k_t)$ . La estrategia (simplificada por Getzler) consiste en desarrollar un cálculo de símbolos para $D$ que reescala todo menos el término constante. Se demuestra que el símbolo apropiado satisface una determinada ecuación diferencial explícita (el "oscilador armónico mecánico cuántico") que se puede resolver explícitamente (fórmula de Mehler). El $\hat{A}$ clase se manifiesta, como por arte de magia.

Creo que el teorema del índice de Atiyah-Singer es un ejemplo especialmente bueno de lo que te refieres, porque es muy difícil ver por qué los cálculos explícitos consiguen lo mismo que los argumentos globales y conceptuales. Al menos, nadie me lo ha explicado de forma satisfactoria. Por ejemplo, la periodicidad de Bott desempeña un papel esencial en la construcción de los mapas índice tanto analíticos como topológicos, pero si hace su aparición en la demostración local está muy disimulada.