¿Podemos definir un grupo a partir de su tabla de Cayley?

Question

En Socratica, he visto un video que demuestra la escritura de grupos mediante la escritura de la tabla de Cayley que satisface tres condiciones del orden deseado. (1) La fila y la columna de elementos neutros son copias de las cabeceras de fila y columna. (2) Cada fila y columna tiene elemento neutro una vez (3) Todos los elementos del conjunto están presentes en cada fila y columna.

Mi pregunta es si esto siempre conduce a un grupo? Creo que las condiciones son necesarias pero insuficientes porque no prueban la asociatividad.

Answer 1

Eche un vistazo a la sección de asociatividad en el Página de Wikipedia para la tabla de Cayley . No es necesario que la asociatividad sea un dato en una tabla de Cayley, ya que a veces puede utilizarse para caracterizar un cuasigrupo (cumpliendo los demás axiomas de un grupo excepto la asociatividad).

La prueba de asociatividad requiere tres elementos, mientras que la tabla de Cayley sólo muestra los resultados de dos. Aunque probablemente puedas generar una tabla de Cayley separada para cada uno de los resultados, en ese punto, sólo estarás abordando el problema con fuerza bruta, y es poco práctico en el mejor de los casos.

Answer 2

Por ejemplo, esta tabla no es una tabla de grupo (en la que las filas y columnas corresponden a $e,a,b,c,d$ ): $$ \left[ \begin {array}{ccccc} e&a&b&c&d\\ a&e&c&d&b \\ b&c&d&a&e\\ c&d&e&b&a \\ d&b&a&e&c\end {array} \right] $$ desde $(a a) b = eb = b$ mientras que $a (ab) = ac = d$ .