Demuestre que existe $g\in C^{\infty}$ tal que $f(x)=g(x^2)$

Question

Dejemos que $f\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ incluso

Demuestre que existe $g\in C^{\infty}(\mathbb{R^+},\mathbb{R})$ tal que para todo $x\in \mathbb{R}, f(x)=g(x^2)$

Mi intento :

Dejemos que $g$ la función definida en $\mathbb{R^+}$ por $g(x)=f(\sqrt{x})$ está claro que $g$ es continua en $\mathbb{R^+}$ y $C^{\infty}$ en $\mathbb{R^+_*}$ .

Así que el problema es encontrar el límite en $0$ pero no sé cómo puedo proceder.

EDITAR: Aquí $\mathbb{R^+}=[0,+\infty)$

Answer 1

SUGERENCIA: Porque $f$ es par, el polinomio de Taylor de $f$ en $0$ también es parejo. Si $P_{2n,f}(x)=\sum\limits_{j=0}^n a_{2j}x^{2j}$ , demuestre que $P_{n,g}(x)=\sum\limits_{j=0}^n a_{2j}x^j$ . Ahora deducimos la suavidad de $g$ en $0$ (desde la derecha).

Answer 2

La idea básica es que una función par suave se parece a una parábola suficientemente cercana a cero, de modo que su composición con $\sqrt x$ sigue siendo suave cerca de cero.

Para precisar esto, hay que recordar que la derivada es la mejor aproximación lineal: es decir, para cualquier función diferenciable obtenemos $f(x)=f(0)+f'(0)x+h(x)x^2$ , donde $\lim_{x\to 0} h(x)$ es finito. Pero para $f$ incluso, $f'(0)=0$ porque $$0=f(x)-f(-x)=2f'(0)x+h(x)x^2-h(-x)x^2$$ Y para lo suficientemente pequeño $x$ podemos suponer $|h(x)x^2-h(-x)x^2|\leq (|h(x)|+|h(-x)|)x^2< 2f'(0)x$ -para ver esto, dividir por $x^2$ en ambos lados y usar eso $h$ converge en $0$ .

Así, $f(x)=f(0)+h(x)x^2$ y la primera derivada de $f(\sqrt x)=f(0)+h(\sqrt x)x$ existe: a saber, es $h(0)$ .