Definición 1
Dejemos que $Q$ un rectángulo; que $f:Q\rightarrow\Bbb R$ sea una función acotada. Como $P$ abarca todas las particiones de $Q$ , defina $$ \underline{\int_Q}f:=\underset{P}\sup\{L(f,P)\}\,\,\,\text{and}\,\,\,\overline{\int_Q}f:=\underset{P}\inf\{U(f,P)\}. $$ Estos números se llaman la integral inferior y la integral superior, respectivamente, de $f$ en $Q$ .
Teorema 2
Dejemos que $Q$ sea un rectángulo; sea $f:Q\rightarrow\Bbb R$ una función acotada. Entonces $$ \underline{\int_Q}f\le\overline{\int_Q}f; $$ la igualdad se mantiene si y sólo si dado $\epsilon>0$ existe una partición correspondiente $P$ de $Q$ para lo cual $$ U(f,P)-L(f,P)<\epsilon $$
Definición 3
Dejemos que $S$ sea un conjunto acotado en $\Bbb R^n$ ; deja que $f:S\rightarrow\Bbb R$ sea una función acotada. Definir $f_S:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R$ mediante la ecuación $$ f_S(x):=\begin{cases}f(x),\,\,\,\text{for}\,\,\,x\in S\\0,\,\,\,\text{otherwise}\end{cases}. $$ Elija un rectángulo $Q$ que contiene $S$ . Definimos la integral de $f$ en $S$ mediante la ecuación $$ \int_S f:=\int_Q f_S $$ siempre que exista esta última integral.
Lema 4
Dejemos que $Q$ y $Q'$ sean dos rectángulos en $\Bbb R^n$ . Si $f:\Bbb R^n\rightarrow R$ es una función acotada que desaparece fuera de $Q\cap Q'$ entonces $$ \int_Q f=\int_{Q'} f; $$ una integral existe si y sólo si la otra existe.
Así que utilizando los resultados anteriores quiero demostrar las dos cosas siguientes.
Lema
La función cero $\pmb{0}$ es integrable en cualquier rectángulo $Q$ y la integral es cero.
Prueba . Así que si $P$ es una partición de $Q$ entonces claramente $$ m_R(\pmb{0})\le 0\le M_R(\pmb{0}) $$ para cualquier subrectángulo $R$ . Así que si $$ m_R(\pmb{0})<0<M_R(\pmb{0}) $$ para algún rectángulo $R$ entonces, por las propiedades del mínimo y del supremo para cualquier $\epsilon>0$ existe $x,y\in Q$ tal que $$ 0=\pmb{0}(x)<m_R(\pmb{0})+\epsilon\,\,\,\text{and}\,\,\, 0=\pmb{0}(y)>M_R(\pmb{0})-\epsilon $$ y claramente esto es imposible. Por lo tanto, concluimos que $$ L(f,P)=0=U(f,P) $$ para cualquier partición $P$ de $Q$ para que el número positivo y el negativo sean respectivamente un límite superior de $\{L(f,P)\}$ y un límite inferior de $\{U(f,P)\}$ para que existan la integral inferior y la integral superior de $\pmb 0$ función. Así que para cualquier $\epsilon>0$ entonces $$ U(f,P)-L(f,P)=0<\epsilon $$ para cualquier partición $P$ por lo que por el teorema 2 concluimos que $\pmb{0}$ es integrable sobre $Q$ . Ahora bien, si $\int_Q\pmb{0}\neq 0$ entonces $\underset{P}\sup\{L(f,P)\}>0$ de modo que por la propiedad del supremum para cualquier $\epsilon\in\big(0,\underset{P}\sup\{L(f,P)\}\big)$ existe una partición $P$ tal que $$ 0<\underset{P}\sup\{L(f,P)\}-\epsilon<L(f,P)=0 $$ y esto es claramente imposible. Así que el corolario se mantiene.
Teorema
Si $S$ es un conjunto acotado en $\Bbb R^n$ entonces la función cero $\pmb 0$ es allí integrable y su integral es cero.
Prueba . Así que si $Q$ es un rectángulo que contiene $S$ entonces la función $0_S$ cumple la hipótesis del lema anterior por lo que con la mismo argumento ( ¡formalmente habría que repetirlo! ) es posible demostrar que $0_S$ es integrable sobre $Q$ y su integral es cero por lo que el teorema se cumple.
Así que pregunto si el enunciado de la pregunta es cierto y en particular si la prueba que he dado es correcta: me doy cuenta de que podría ser un resultado trivial pero desgraciadamente veo que nunca hay texto que lo demuestre aunque se utiliza en muchas pruebas. Así que, ¿podría alguien ayudarme, por favor?
