Quiero evaluar la siguiente integral: $$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln^2 x}{x^2-x+1}{\rm d}x$$
Utilizo el siguiente contorno para integrar. 
Consideré la función $\displaystyle f(z)=\frac{\ln^3 z}{z^2-z+1}$ . Los polos de la función son $\displaystyle z_1=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}, \; z_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ y estos son polos simples. He evaluado los residuos $\displaystyle \mathfrak{Res}(z_1)=\mathfrak{Res}(z_2)=-\frac{i\pi^2}{9\sqrt{3}}$ .
Si declaramos $\gamma$ todo el contorno, tenemos eso: $$\oint_{\gamma}f(z)\,dz=2\pi i \sum res=2\pi i \left ( -\frac{2i\pi^2}{9\sqrt{3}} \right )=\frac{4\pi^3}{9\sqrt{3}}$$
He dividido el contorno y tengo: $$\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\int_{C_r}+\int_{S_1}+\int_{C_\epsilon }+\int_{S_2}$$
donde $S_1$ es el segmento de $R$ a $\epsilon$ y $S_2$ es el segmento de $\epsilon$ a $R$ . He demostrado que las otras dos integrales de línea desaparecen cuando $R\rightarrow +\infty, \epsilon \rightarrow 0$ respectivamente.
Y aquí es donde me atasco. Bueno, dejando $R \rightarrow +\infty$ esto me lo da: $$\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_{\infty}^{0}f(z)\,dz+\int_{0}^{\infty}f(z)\,dz=\int_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}$$
He puesto $z=-x-i\epsilon$ en la segunda y en la primera $z=-x+i\epsilon$ pero no consigo terminar el problema y obtener el resultado correcto.
