Integración de $\ln$ alrededor de un contorno de ojo de cerradura

Question

Quiero evaluar la siguiente integral: $$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln^2 x}{x^2-x+1}{\rm d}x$$

Utilizo el siguiente contorno para integrar.

Consideré la función $\displaystyle f(z)=\frac{\ln^3 z}{z^2-z+1}$ . Los polos de la función son $\displaystyle z_1=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}, \; z_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ y estos son polos simples. He evaluado los residuos $\displaystyle \mathfrak{Res}(z_1)=\mathfrak{Res}(z_2)=-\frac{i\pi^2}{9\sqrt{3}}$ .

Si declaramos $\gamma$ todo el contorno, tenemos eso: $$\oint_{\gamma}f(z)\,dz=2\pi i \sum res=2\pi i \left ( -\frac{2i\pi^2}{9\sqrt{3}} \right )=\frac{4\pi^3}{9\sqrt{3}}$$

He dividido el contorno y tengo: $$\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\int_{C_r}+\int_{S_1}+\int_{C_\epsilon }+\int_{S_2}$$

donde $S_1$ es el segmento de $R$ a $\epsilon$ y $S_2$ es el segmento de $\epsilon$ a $R$ . He demostrado que las otras dos integrales de línea desaparecen cuando $R\rightarrow +\infty, \epsilon \rightarrow 0$ respectivamente.

Y aquí es donde me atasco. Bueno, dejando $R \rightarrow +\infty$ esto me lo da: $$\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_{\infty}^{0}f(z)\,dz+\int_{0}^{\infty}f(z)\,dz=\int_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}$$

He puesto $z=-x-i\epsilon$ en la segunda y en la primera $z=-x+i\epsilon$ pero no consigo terminar el problema y obtener el resultado correcto.

Answer 1

En $S_2$ se obtiene $$\int_0^\infty \frac{\ln^3 x}{x^2-x+1}\,dx$$ y en $S_1$ $$-\int_0^\infty \frac{(\ln x + 2\pi i)^3}{x^2-x+1}\,dx.$$ Sumando los dos se obtiene $$\int_0^\infty \frac{-6\pi i\ln^2 x + 4\pi^2\ln x + 8\pi^3 i}{x^2-x+1}\,dx.$$ Si se toma la parte imaginaria, lo único que hay que hacer para terminar es calcular $$\int_0^\infty \frac{1}{x^2-x+1}\,dx$$ ya sea con técnicas de cálculo de primer año o utilizando residuos si lo prefieres.