Rango de inradio de un triángulo rectángulo

Question

Hoy en mi examen me han hecho una pregunta relativa a los valores que puede tomar el radio de un triángulo rectángulo dado con lados enteros, las opciones a cuyas respuestas eran

a)2.25

b)5

c)3.5

Simplemente no pude entender cómo empezar, ya que intenté con algunas tripletas básicas que conocía como (3,4,5) y (5,12,13), etc., pero nunca el radio interior se acercó a 2,25, por no hablar de las otras dos opciones, así que creo que la pregunta podría estar mal.

¿alguna idea?

Answer 1

Tal y como se ha dado ici un triángulo rectángulo como este:

tiene un radio interior de $r=\frac{1}{2}(a+b-c)$ . Usted sabe que $(a+b-c)$ tiene que ser un número entero positivo...

Answer 2

Y, para continuar la respuesta de @Listing, el triángulo pitagórico con lados $15$ , $20$ , $25$ tiene inradio $5$ . Así, de forma muy barata, podemos obtener todos los enteros positivos como inradio, escalando adecuadamente el $(3,4,5)$ .

El primitivo Triángulos pitagóricos con inradio $5$ son los $(12,35,37)$ y el $(11,60,61)$ . Eso es todo.

Añadido : Si se calcula el radio interior del triángulo pitagórico más conocido, es decir, el $(3,4,5)$ y obtuvo la respuesta correcta, que es $1$ es inmediato que se puede escalar por un factor de $d$ , donde $d$ es cualquier número entero positivo, para obtener inradio $d$ . Así, $5$ es ciertamente alcanzable. Como es una de las respuestas proporcionadas, y (presumiblemente) sólo una de las respuestas es correcta, puede marcar (b) y pasar a la siguiente pregunta.

Answer 3

El listado da una respuesta mucho mejor. Aquí explico cómo enfocaría yo el problema. Se me ocurren los dos hechos siguientes:

1. El radio interior de un triángulo es $$r = \frac{2\Delta}{P}$$ donde $\Delta$ y $P$ son el área y el perímetro del triángulo. En el caso de un triángulo rectángulo, adopta la forma simple $$r = \frac{ab}{a+b+c},$$ donde $a,b,c$ son los lados ( $c$ es la hipotenusa).

2. Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo entero vienen dadas por las triplas pitagóricas. Sé que cualquier El triple pitagórico 1 puede escribirse como $(2kmn, k(m^2-n^2), k(m^2+n^2))$ , donde $k$ , $m$ y $n$ son enteros positivos. Así que el inradio se convierte en $$\frac{2kmnk(m^2-n^2)}{2kmn+(km^2-kn^2)+(km^2+kn^2)} = \frac{2mkn(m-n)(m+n)}{2m(m+n)} = kn(m-n),$$ que es un número entero.

1 Si sólo queremos triples pitagóricos primitivos, entonces en la fórmula debemos restringir $k$ , $m$ y $n$ para que $k=1$ (piense en $k$ como el factor de escala que multiplica una solución primitiva dada), $\gcd(m,n)=1$ y $m-n$ es un número entero impar. (Ejercicio: ¿Qué ocurre cuando $m$ y $n$ son ambos Impares, por lo que $m-n$ es incluso?)

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Eso descarta 2 opciones, dejando sólo $5$ como una posibilidad. Si exactamente una de las opciones está garantizada como correcta, entonces marcaría esta opción y seguiría adelante ;). En caso contrario...

Queremos encontrar si hay soluciones integrales positivas para $n(m-n)=5$ . Esto nos da dos soluciones:

1. $n = 1$ y $m=6$ . El triángulo en este caso es $(12, 35, 37)$ .

2. $n=5$ y $m=6$ . El triángulo en este caso es $(11, 60, 61)$ (reordenando un poco los lados).

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Si queremos una solución general, cada entero positivo $r$ puede ser el radio interior de un triángulo rectángulo entero cuyos lados son enteros primitivos . (André muestra que el $(3r, 4r, 5r)$ -el triángulo tiene radio interior $r$ lo que da una fácil solución al problema si eliminamos la restricción de primitividad). Es fácil ver que la ecuación $$r = n(m-n)$$ se satisface con $n=r$ y $m=r+1$ que todas las condiciones necesarias ( $\gcd(m,n)=1$ y $m-n=1$ que es impar). Esta solución da el triángulo $(2r+1, 2r(r+1), 2r^2+2r+1)$ . (Por supuesto, esta no es la única solución posible).

Answer 4

$(c_1+c_2)^2=a^2+b^2 \Rightarrow (a-r+b-r)^2=a^2+b^2 \Rightarrow (a+b-2r)^2=a^2+b^2$

$(a+b)^2-4r(a+b)+4r^2=a^2+b^2 \Rightarrow 4r^2-4r(a+b)+2ab=0$

Ahora tenemos que introducir cada solución para $r$ en la última ecuación:

$a)$ obtenemos 25+2ab=20(a+b) , lo cual no es correcto ya que el lado izquierdo representa un entero impar y el lado derecho un entero par

$b)$ obtenemos 20(a+b)=100+2ab , que puede ser correcto ya que tanto el lado izquierdo como el derecho representan enteros pares..

$c)$ obtenemos $14(a+b)=49+2ab$ lo cual no es correcto ya que el lado izquierdo representa un entero par y el lado derecho representa un entero impar

Por lo tanto, la única solución posible es $r=5$