Encontrar los residuos utilizando el módulo

Question

Determinar el resto de $2014^{2015} \cdot 2016^{2017} + 2018^{2019}$ dividido entre 13.

No consigo saber cómo manipular la parte de 2018 para que se convierta en alguna forma de 13. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Lo tenemos: $2014^{2015}\cdot 2016^{2017} = 12^{2015}\cdot 1^{2017} (\mod 13) = 12\cdot 1(\mod 13) = 12(\mod 13)$ y $2018^{2019} = 3^{2019} = (3^{12})^{168}\cdot 3^3 = 1^{168}\cdot 1 = 1(\mod 13)$ . Añadiendo estos mods tenemos: $S = (12+1)(\mod 13) = 13(\mod 13) = 0(\mod 13)$ .

Answer 2

2014 es $(-1)$ módulo 13. 2016 es 1 módulo 13. 2018 es 3 módulo 13, pero entonces $2018^3$ es $3^3$ que es 27 que es 1 módulo 13. Después de esto, puedes trabajar con las potencias muy fácilmente, sólo recuerda tener en cuenta la tercera potencia de 2018.

Answer 3

Como $2014\equiv-1\pmod{13},(2014,13)=1$ y como $2015\equiv11\pmod{\phi(13)}$

Utilizando el Pequeño Teorema de Fermat, $2013^{12}\equiv1\pmod{13}$

$\implies2013^{2015}\equiv(-1)^{11}\equiv-1\pmod{13}$

De la misma manera, $2018^{2019}\equiv3^3\pmod{13}\equiv1$ y $2016^{2017}\equiv1^1$