Hallar la derivada en un punto a partir de una ecuación funcional

Question

Dejemos que $f(x+y)=f(x)f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$ y $f(5)=2, f'(0)=3$ . Entonces $f'(5)$ es __

He visto esta pregunta en un folleto, y basándome en la respuesta dada, esto es lo que creo que han hecho.

$$\begin{aligned}f(x+y)&=f(x)f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}\\ y=5&\rightarrow f(x+5)=f(x)f(5)\\ &\rightarrow\partial_{x}f(x+5)=\partial_{x}f(x)f(5)\\ &\rightarrow f'(5)=f'(0)f(5)=3\times 2=6\end{aligned}$$

Esto parece correcto, pero si intentamos escribir las soluciones de la ecuación funcional, que pueden ser $f(x)=0,1,a^{x}(a\gt 0)$ pero como $f'(0)\ne 0$ , $f(x)=a^{x}$ deberíamos recibir un $\ln()$ término en la derivada, cosa que no hacemos. Entonces, ¿qué es lo que está mal aquí? Gracias.

Answer 1

Sólo utilizando la relación funcional, para $y \ne 0$ tenemos que $$ \frac{f(x+y)-f(x)}{y} =\frac{f(x)f(y)-f(x)}{y} = f(x) \cdot \frac{f(y)-1}{y-0} $$

Desde $f(0)=1$ y tomando el límite como $y \to 0$ obtenemos $$ f'(x) = f(x)\cdot f'(0). $$

En particular, $f'(5) = f(5)\cdot f'(0)$ . Así, la respuesta esperada sería $f'(5)=6$ . Como ha señalado @DMcMor, otra cuestión es ver si existe esa función...

Answer 2

Esto parece estar sobredeterminado. Si tenemos $f(x+y) = f(x)f(y)$ entonces $f(x) = a^x$ . Dado que $f(5) = 2$ podemos determinar que $a^5 = 2 \implies a = 2^{1/5}$ y así $f(x) = 2^{x/5}$ . Sin embargo, ahora tenemos $$f'(0) = \ln(2^{1/5})2^{0/5} = \ln(2^{1/5}) \ne 3.$$