Demostrar que existe el mayor número entero tal que k<x $x\in R $

Question

Estoy estudiando el Análisis real del libro de Rudin.Así que no me salto ninguna frase "obvia" para Rudin.Así que en alguna parte del capítulo 1 dice. $x$ número real. Supongamos que $n$ el mayor entero $n \leq x $ Así que quería probar que existe algo así. Usando sólo la información que tengo hasta ahora.

Prueba.

Me llevé el set. $A=$ todos los enteros $n\leq x $ Por la propiedad arquimediana existe z(entero)>x por lo que tenemos un límite superior.

Como R tiene la propiedad de mínimo límite superior, existe un supremum. Así que ahora sólo queda demostrar que

$SupA$ $\exists$ $A $

De modo que $A$ tiene un máximo. Supongamos que $supA$ no pertenece a $A$ así que $supA>x$ . Quiero usar la definición del supremum pero si tomo $supA -1$ o algo más no significa que $supA-a$ pertenece a S ya que $supA$ es un número real (podría no serlo pero no puedo estar seguro) la propiedad del mínimo límite superior está en R no en Z.A menos que demuestre la propiedad del mínimo límite superior para Z.Así que estoy atascado como para continuar.

Answer 1

Si $A = \{n \in \mathbb N : n \le x\}$ no se necesita la propiedad de Arquímedes para encontrar un límite superior de $A$ : $x$ es un límite superior.

Desde $\sup A$ es el sumo de $A$ , $\sup A - 1$ no es un límite superior de $A$ . Por lo tanto, existe $n \in A$ con la propiedad de que $\sup A - 1 < n$ .

A su vez, esto significa $\sup A < n+1$ para que $n+1 \notin A$ . Así, $n+1 > x$ .

En consecuencia, $n$ es el mayor número entero menor o igual a $x$ .