Dos ideas para demostrar la irracionalidad

Question

Quiero "construir" una prueba que demuestre que $\sqrt{n}$ es irracional y se me ocurren dos ideas. Pero tengo dudas sobre la solidez de los razonamientos posteriores que puedan surgir a partir de estas ideas. Las ideas son las siguientes:

1. Considerando que un número irracional no es racional y que los enteros pueden ser mapeados con los racionales, la irracionalidad de un número se puede demostrar mostrando que no existe un mapeo a este número. Se puede utilizar (una de) las tres definiciones de biyección, inyección y suryección.

2. Teniendo en cuenta que la expansión decimal de un número irracional no es periódica, se puede demostrar la irracionalidad utilizando el concepto de límite, ya que el límite de una expansión periódica no existe. En este sentido, un límite en una expansión decimal repetitiva significa el último dígito del período. Límite y supremum pueden considerarse equivalentes en este contexto de periodicidad.

Ahora, no sé si estas son buenas ideas, por lo que se agradece alguna salida

Answer 1

En cuanto a 1, los números reales tienen muchos subconjuntos contables que contienen números irracionales: incluso algunos bastante bonitos como el subcampo generado $\mathbb{Q}[x_1, x_2, \ldots]$ generado sobre los números racionales $\mathbb{Q}$ por cualquier secuencia finita o contablemente infinita de números irracionales $x_1, x_2 \ldots$ . Así que esta línea de argumentación no es prometedora.

Con respecto a 2: podría ser interesante ver si puedes analizar un algoritmo para calcular la expansión decimal de la raíz cuadrada de un número y demostrar que no termina (es decir, si $n$ no es un cuadrado perfecto) entonces su salida no es periódica, pero no conozco una prueba de este tipo, aparte de utilizar una de las pruebas habituales de que los enteros que no son cuadrados perfectos son irracionales (por ejemplo, considerando la factorización del primo).

Answer 2

Se puede demostrar que la expansión decimal de $\sqrt n$ es no periódica demostrando primero que $\sqrt n$ es irracional y también demostrar por separado que las expansiones decimales de los números racionales son periódicas. Demostrar más directamente que la expansión decimal es no periódica no lo he visto nunca. No digo que no se pueda hacer, pero me sorprendería un poco.

Para que tu primera idea funcione, sospecho que primero tienes que especificar qué enumeración de los números racionales quieres utilizar. No sé por dónde iría ese argumento a partir de ahí. Uno va así: Supongamos que tenemos una enumeración $a_1,a_2,a_3,\ldots$ de todos los números racionales. Sea $b_1=a_1$ y que $c_1$ sea el primer término de la secuencia $\{a_n\}$ que es mayor que $b_1$ . Buscaremos un nunmero irracional en el intervalo $(b_1,c_1)$ . Ahora dejemos que $b_2$ sea el primer término de la secuencia $\{a_n\}$ que $c_1$ que está en ese intervalo, y que $c_2$ sea el primer término de la secuencia $\{a_n\}$ que está entre $b_2$ y $c_1$ . Ahora buscaremos nuestro número irracional en este intervalo más estrecho $(b_2,c_2)$ . Definir $b_3$ y $c_3$ de manera similar, y así sucesivamente. Tenemos $b_1<b_2<b_3<\cdots<c_3<c_2<c_2$ y sólo un número está entre el $b$ s y el $c$ s. Ese número debe ser irracional porque todos los números racionales fueron excluidos por nuestra forma de crear la secuencia de intervalos sucesivamente más estrechos. Pero puede hacer todo esto de alguna manera que asegure que $\sqrt n$ será el número irracional que encuentres? Asegurándose de que tous Los números racionales están incluidos en una secuencia utilizada para este tipo de propósito parece un desperdicio si todo lo que estás tratando de probar es que un número específico es irracional. E incluso si hubiera un número incontable de racionales, sólo se necesitaría un número contable de ellos para una prueba como ésta, por lo que la contabilidad de los racionales no parece importante aquí.

Otra forma de demostrar que $\sqrt n$ es irracional es demostrar que su expansión de fracción continua simple no termina. Eso puede hacerse mostrando que esa expansión es periódico. Eso no funciona para las raíces cúbicas u otras raíces de mayor grado.