¿Cuál es la diferencia entre la dependencia temporal implícita, explícita y total, por ejemplo $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ y $\frac{d \rho} {dt}$ ?
Sé que una es una derivada parcial y la otra es una derivada total. Pero físicamente no puedo distinguirlas. Tengo una idea de que mi duda puede ser entender la diferencia entre dependencia implícita, explícita y total del tiempo.
Usted está preguntando esencialmente sobre el material derivado cuando se habla de una derivada total con respecto al tiempo.
Digamos que usted está mirando la velocidad del aire en su habitación. Hay una velocidad diferente en todas partes, y cambia con el tiempo, así que
$$v = v(x,y,z,t)$$
Cuando se toma un derivado como
$$\frac{\partial v}{\partial t}$$
estás diciendo "voy a seguir tomando muestras de la velocidad del viento en el mismo punto exacto de mi habitación, y descubriré lo rápido que cambia esa velocidad".
Si, por el contrario, toma
$$\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}$$
ahora estás diciendo: "sigue a un pedacito de aire en particular, y ve lo rápido que cambia su velocidad (es decir, encuentra su aceleración)".
(nota: Marek ha hecho una buena aclaración sobre la diferencia entre estos dos usos de $t$ en los comentarios de esta respuesta).
Están relacionados por la regla de la cadena
$$\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t} + \frac{\partial v}{\partial y}\frac{ \textrm{d}y}{\textrm{d}t} + \frac{\partial v}{\partial z}\frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}t}$$
Esto significa que si se observa una pequeña partícula de aire en particular, su velocidad está cambiando parcialmente porque todo el campo de velocidad está cambiando. Pero incluso si todo el campo de velocidad no cambiara, la velocidad de la partícula seguiría cambiando porque se mueve a un nuevo punto, y la velocidad es diferente en ese punto también.
Como otro ejemplo, digamos que hay una hormiga arrastrándose por una colina. Tiene una altura que es una función de la posición bidimensional
$$h = h(x,y)$$
Si nos fijamos en $\partial h/\partial x$ Estamos viendo la pendiente en la dirección x. La encuentras moviéndote un poco en la dirección x mientras mantienes y igual, encontrando el cambio en z, y dividiendo por la distancia que te has movido.
Por otro lado, ya que estamos siguiendo a la hormiga, podríamos querer saber cuánto cambia su altura cuando se mueve un poco en la dirección x. Pero la hormiga está viajando a lo largo de su propio camino enrevesado, y cuando se mueve en la dirección x, termina cambiando su coordenada y también.
El cambio total en la altura de la hormiga es el cambio en su altura debido al movimiento en la dirección x más el cambio debido al movimiento en la dirección y. La distancia que la hormiga se mueve en la dirección y depende a su vez del movimiento en la dirección x. Así que ahora tenemos
$$\frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x} = \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{\partial h}{\partial y}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$$
En el lado derecho de esa ecuación, el primer término corresponde al cambio de altura debido al movimiento en la dirección x. El segundo término es el cambio de altura debido al movimiento en la dirección y. La primera parte, $\partial h/\partial y$ es el cambio de altura debido al cambio de y, mientras que la segunda parte $\textrm{d}y/\textrm{d}x$ describe cuánto cambia realmente y al cambiar x, y depende de las particularidades del movimiento de la hormiga.
Editar Ahora veo que te preocupa específicamente la ecuación de la mecánica cuántica
$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\langle A \rangle = -\frac{\imath}{\hbar}\langle[A,H]\rangle + \langle \partial A/\partial t \rangle$$
Aquí, $\langle \partial A/\partial t\rangle$ es el valor de la expectativa de la derivada parcial del operador $A$ con respecto al tiempo. Por ejemplo, si $A$ es el Hamiltoniano para una partícula en un campo eléctrico dependiente del tiempo, ese operador contendría el tiempo explícitamente. Comenzamos diferenciando formalmente el propio operador, y luego tomando el valor de la expectativa.
Por otro lado $\langle A \rangle$ es simplemente una función de valor real del tiempo (si $A$ es hermético), por lo que $\textrm{d} \langle A \rangle / \textrm{d} t$ es la derivada habitual de una función real de una sola variable.
Tal vez la respuesta intuitiva se dé mejor en términos de física clásica. Supongamos que se observa el movimiento de una partícula clásica. Las variables relevantes son la posición y el momento. Si se resuelve el movimiento del sistema, se presentan las funciones $x(t)$ y $p(t)$ .
Ahora, hay un montón de cantidades derivadas que puedes construir a partir de estas trayectorias. Por ejemplo, el momento angular $\vec{L} = \vec{x} \times \vec{p}$ . Desde $x$ y $p$ dependen de la hora, $L$ también depende del tiempo, pero en este caso lo hace sólo porque $x$ y $p$ dependen del tiempo. Básicamente tiene una función $L = L(x,p)$ que luego se convierte en $L(x(t), p(t))$ . Esto se debe a que en el definición de $L$ El tiempo no juega ningún papel. Por lo tanto, decimos que esta cantidad sólo tiene un implícito dependencia del tiempo. En particular, $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$ .
Sin embargo, si su cantidad derivada $f$ se define por alguna razón tal que el tiempo aparece explícitamente en la definición, entonces $\frac{\partial f}{\partial t} \not= 0$ . Por ejemplo, es posible que desee añadir un factor de fase dependiente del tiempo a su cantidad, por ejemplo $f = \vec{x} \cdot \vec{p} \cdot e^{i\omega t}$ . Entonces tenemos $f = f(x,p,t) = f(x(t), p(t), t)$ y ahora $\frac{\partial f}{\partial t}$ no es cero.
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