¿Es correcta esta prueba sobre la suma de números pares $(n+1)n$ ?

Question

Soy muy nuevo en lo que respecta a las pruebas matemáticas propiamente dichas y me entusiasma aprenderlas. Ayer resolví mi primera demostración y quería comprobarlo aquí.

Esta tarea para principiantes procede del libro de un famoso matemático húngaro, Gyula J. Obádovics.

Demuestra que la suma de números pares es $(n+1)n$

$$2 + 4 + 6 + ... + 2n = (n+1)n$$

Prueba por inducción

Para $n = 1$ $$2 = (1+1)1$$ $$2 = 2$$

Para $n = k$ , supongamos que es cierto

$$2 + 4 + 6 + ... + 2k = (k+1)k$$

Para $n = k + 1$

$$(2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2(k+1) = ((k+1)+1)(k+1)$$

Para el lado izquierdo, sustituye la suma de $n = k$

$$[(k+1)k] + 2(k+1) = ((k+1)+1)(k+1)$$

Que es

$$(k+1)k + 2(k+1) = (k+2)(k+1)$$

Transformar el lado izquierdo en

$$(k+2)(k+1) = (k+2)(k+1)$$

¿Esta prueba es correcta?

Answer 1

Después de haberte contestado, te propongo el siguiente método sin (casi) inducción. Deja que $\;S\;$ sea la suma de los primeros $\;n\;$ números pares, así que escribirá esa suma dos veces en orden inverso:

$$\begin{cases}I&\;S=2+4+6+\ldots+(2n-2)+2n\\{}\\ II&S=2n+(2n-2)+\ldots+6+4+2\end{cases}$$

Y ahora resumir las dos igualdades anteriores columna , lo que significa: sumar los elementos de la primera columna $\;2+2n=2n+2\;$ y luego los de la segunda columna, $\;4+(2n-2)=2n+2\;$ . etc. Lo conseguimos:

$$I+II:\;\;\color{red}{2S}=\overbrace{(2n+2)+(2n+2)+\ldots(2n+2)+(2n+2)}^{n\;\text{times}}=\color{red}{n(2n+2)}=$$

$$=\color{red}{2n(n+1)}\implies\color{red} S=\color{red}{n(n+1)}$$

Answer 2

En sentido lógico, parece correcto. La solución sólo necesita un poco de formalidad.

Tienes el caso base y la suposición para $n = k$ que has hecho se llama hipótesis de inducción . Entonces, para $n = k+1$ la igualdad $$(2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2(k+1) = ((k+1)+1)(k+1)$$ es lo que hay que mostrar . Probablemente escribas esto no como una igualdad sino como una prueba del tipo "estamos comprobando si son iguales o no" pero como una igualdad, no sabemos si son iguales o no, todavía. Por lo tanto, empezamos desde el LHS, $$(2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2(k+1) = k(k+1)+2(k+1)$$ y la igualdad anterior proviene de la hipótesis de inducción que asumimos después de verificar el caso base. Entonces, se puede manipular un poco el RHS para tener $$(2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2(k+1) = k(k+1)+2(k+1) = (k+1)(k+2)$$ que se mantiene cuando $n = k+1$ . Por lo tanto, concluimos que el argumento es válido para todos los $n$ por inducción.