Mostrando $\lim_{x\to 0^+}x^n \ln(1-e^{-x})=0$

Question

Dejemos que $n>0$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\lim_{x\to 0^+}x^n \ln(1-e^{-x})=0$ ? No he podido aplicar con éxito la regla de L'Hospital.

Answer 1

Escriba su límite :

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1-e^{-x})}{x^{-n} }$$

Ahora bien, como este límite es de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ se puede aplicar la regla de L'Hospital ahora .

Answer 2

Para los pequeños $x$ podemos expandir en una serie de taylor para obtener $x^n \ln(1-e^{-x}) \approx x^n \ln x$ . El resto debería ser fácil.

Answer 3

Utilice el hecho de que $(1-e^{-x})/x\to 1$ y luego escribir $$x^{n} \log(1-e^{-x})= x^{n} \log\left(\frac{1-e^{-x}}{x}\right)+x^{n}\log x$$ El primer término tiende a $0\log 1=0$ y el segundo término es un límite estándar que tiende a $0$ . Así que la respuesta final es $0$ .