¿Cómo demostrar la equivalencia de estas dos sumas?

Question

¿Cómo se puede demostrar que la siguiente ecuación es válida? $$ \sum_{m=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\left(n^2+m^2\right)^{-p}= \sum_{m=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{\left(2nm+m\right)^{p}} $$ He intentado romper $n$ en partes iguales e impar pero no estoy seguro de cómo proceder después. ¿Alguna idea?

Por qué : Sé que la igualdad se mantiene analíticamente debido a otra resultado pero me gustaría tener una idea de que se puede demostrar la igualdad directa de estas dos sumas para poder generalizar la expresión de la izquierda a una forma cuadrática general.

Cualquier prueba que no implique la teoría de los números sería genial.

Answer 1

El hecho oculto es que $\mathbb{Z}[i]$ (el anillo de enteros gaussianos) es un UFD, por lo que $$ r_2(n)=\{(a,b)\in\mathbb{Z}^2:a^2+b^2=n\}$$ está dada por un múltiplo de una función multiplicativa, a saber $$ r_2(n) = 4(\chi_4 * 1)(n) = 4\sum_{d\mid n}\chi_4(d) $$ donde $\chi_4(d)$ es igual a $1$ si $d\equiv 1\pmod{4}$ , $-1$ si $d\equiv 1\pmod{4}$ y cero en caso contrario.
El factor $4$ se debe al hecho de que $\mathbb{Z}[i]$ tiene cuatro elementos invertibles.
En particular, en términos de la serie de Dirichlet $$ \sum_{m\geq 1}\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(m^2+n^2)^p} = \sum_{N\geq 1}\frac{(\chi_4*1)(N)}{N^p} = \zeta(p)\sum_{N\geq 1}\frac{\chi_4(N)}{N^p}=\zeta(p)\beta(p) $$ y $$ \zeta(p)\beta(p)=\sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^p}\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^p} = \sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^n}{(2mn+m)^p} $$ es válida para cualquier $p>1$ .

Answer 2

La respuesta debería ser evidente por la respuesta a su pregunta anterior:

$$ \sum_{m=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{\left(2nm+m\right)^{p}}= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{\left(2n+1\right)^{p}}\sum_{m=1}^\infty\frac{1} {m^{p}} =\beta(p)\zeta(p)=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{\left(n^2+m^2\right)^{p}}. $$