Aplicación del teorema de los residuos

Question

Quiero demostrar que la

$$\sum_{j=1}^n \frac{1}{\left[\text{cos} \left( \frac{j \pi}{2n+1} \right)\right]^4}=\frac{8n(n+1)(n^2+n+1)}{3}$$

para $n \in \mathbb{N}$ utilizando el teorema de los residuos.

Que la función de meromorphic $f$ debo usar para el adecuado residuo?

Answer 1

Aquí están los detalles de mi comentario anterior.

Tomemos $$f(z)=\frac{z}{(z+1)^4(z^{2n+1}-1)}$$ No es un polo de orden $4$$z=-1$, y simple polacos en el $2n+1$'th raíces de la unidad. La suma de todos los residuos es $0$. (No hay ningún residuo en la $z=\infty$ $f(z)\sim z^{-(4+2n)}$ grandes $z$; o bien, si no te gustan los residuos en el infinito, integrar $f$ sobre un gran círculo centrado en $0$, y observe que la integral va a $0$ como la radio va a la $\infty$.)

Si $w^{2n+1}=1$, es decir, $z=w$ es un simple palo, y entonces $$Res_{z=w}f(z)=\frac{1}{2n+1}\frac{w^2}{(w+1)^4};$$ si $w=\exp(2\pi i j/(2n+1))$ ($j$ se ejecuta de$0$$2n$) esto significa $$Res_{z=w}f(z)=\frac{1}{2n+1}\frac{1}{(2\cos\pi j/(2n+1))^4}.$$ Observe que la suma de estos residuos es $2\times 2^{-4}/(2n+1)$ los tiempos de la LHS ($j$ pistas de$1$$2n$) más ($j=0$) $2^{-4}/(2n+1)$.

El último residuo es en $z=-1$ $\frac{g^{(3)}}{3!}|_{z=-1}$ donde $g(z)=\frac{z}{(z^{2n+1}-1)}=(z+1)^4f(z)$. Debe ser sencilla de calcular, pero tengo miedo de hacerlo, y me preguntó Wolfram Alpha para hacerlo (gracias Variable Aleatoria). El resultado es $$Res_{z=-1}f(z)=-(8n^3+12n^2+10n+3)/48.$$ La suma de todos los residuos de $f$$0$, y lo hace, de hecho, dar el resultado que usted desea.